数学智力题：库沙克瓦片

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数学智力题：库沙克瓦片
        　　库沙克瓦片
       
        　　如图1所示，在1个大正方形内画了4个等边三角形，分别为红色、绿色、黄色和蓝色。这4个等边三角形的顶点相连形成了1个小正方形(用黑色标注了出来)。把这个小正方形的中心和三角形各边相交的点连接起来，就形成了1个正十二边形，如图2所示。这个小正方形被称为库沙克瓦片，它被用来证明库沙克定理，即1个半径为1的圆的内接正十二边形的面积为3。
       

        　　只通过看来判断，右边图中的正十二边形与该库沙克瓦片之间的面积有什么关系？
       
        　　答案：如图所示，这个瓦片被分为16个相等的正三角形和32个相等的等边钝角三角形，这些钝角三角形的3个角分别为15°，15°，150°。 　　瓦片以内正十二边形以外有4个正三角形和8个钝角三角形，占三角形总面积的1/4。因此该正十二边形的面积是这个瓦片面积的3/4。由于库沙克瓦片是1个半径为1的圆的内接正方形，因此它的面积为4，所以该正十二边形的面积为3。