小学数学容斥原理练习题及答案（十三）

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小学数学容斥原理练习题及答案（十三）
        　　【习题】
        　　在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知：(1)某校25名学生参加竞赛，每个学生至少解出一道题；(2)在所有没有解出第一题的学生中，解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍：(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人；(4)只解出一道题的学生中，有一半没有解出第一题，那么只解出第二题的学生人数是()
       
        　　A，5
       
        　　B，6
       
        　　C，7
       
        　　D，8
        【答案请看下一页】

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        　　【答案】
        　　解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。
       
        　　分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
       
        　　由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①
       
        　　由（2）知：a2+a23＝（a3+a23）×2……②
       
        　　由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③
       
        　　由（4）知：a1＝a2+a3……④
       
        　　再由②得a23＝a2－a3×2……⑤
       
        　　再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
       
        　　然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
       
        　　a2×4+a3＝26
       
        　　由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
       
        　　当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22
       
        　　又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3
       
        　　因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
       
        　　然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。
       
        　　故只解出第二题的学生人数a2＝6人。