数学文化：数学里的“不合逻辑”

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　　“不合逻辑”是各种数学悖论的来源。你能想一个命题，使得它和它的否定形式同时成立吗？令人难以置信的是，这样的命题真的存在。“这句话是七字句”就是这样一种奇怪的命题。它的否定形式是“这句话不是七字句”，同样是成立的。
       
        　　你肯定会大叫“赖皮”，命题的真假与这个命题本身的形式有关，这样的命题算数学命题吗？没错，这些涉及到自己的命题都叫做“自我指涉命题”，它们的出现会引发很多令人头疼的问题。从说谎者悖论（Liarparadox）到罗素悖论（Russell‘sparadox），各种逻辑悖论的产生根源几乎都是自我指涉。数理逻辑中的不合逻辑遍地都是，它们直接引发了数学史上的第三次数学危机。
       
        　　欧拉不合逻辑的证明法
       
        　　在数学史上，很多漂亮的定理最初的证明都是错误的。最典型的例子可能就是1735年大数学家欧拉（Euler）的“证明”了。他曾经仔细研究过所有完全平方数的倒数和的极限值，并且给出了一个漂亮的解答：这是一个出人意料的答案，圆周率π毫无征兆地出现在了与几何完全没有关系的场合中。欧拉的证明另辟蹊径，采用了一种常人完全想不到的绝妙方法。他根据方程sin(x)/x=0的解，对sin(x)/x的级数展开进行因式分解，再利用对比系数的方法神奇地得到了问题的答案。不过，利用方程的解进行因式分解的方法只适用于有限多项式，在当时的数学背景下，这种方法不能直接套用到无穷级数上。虽然如此，欧拉利用这种不严格的类比，却得出了正确的结果。