小学数学故事：九连环与格雷码

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        　　分析解九连环的完全记法，由于每次只动一个环，故两步的表示也只有一个数字不同。下面以五个环为例分析。左边起第一列的五位数是5个环的状态，依次由第一环到第五环。第二列是把这个表示反转次序的五位数，似乎是二进制数，但是与第四列比较就可以看出这不是步数的二进制数表示。
       
        　　第三列是从初始状态到这个状态所用的步数。最右边一列才是步数的二进制表示。
       
        　　00000－00000－0－00000
       
        　　10000－00001－1－00001
       
        　　11000－00011－2－00010
       
        　　01000－00010－3－00011
       
        　　01100－00110－4－00100
       
        　　11100－00111－5－00101
       
        　　10100－00101－6－00110
       
        　　00100－00100－7－00111
       
        　　00110－01100－8－01000
       
        　　10110－01101－9－01001
       
        　　11110－01111－10－01010

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        　　01110－01110－11－01011
       
        　　01010－01010－12－01100
       
        　　11010－01011－13－01101
       
        　　10010－01001－14－01110
       
        　　00010－01000－15－01111
       
        　　00011－11000－16－10000
       
        　　10011－11001－17－10001
       
        　　11011－11011－18－10010
       
        　　01011－11010－19－10011
       
        　　01111－11110－20－10100
       
        　　11111－11111－21－10101

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        　　我们发现，右边一列数恰好是十进制数0到21的二进制数的格雷码！这当然需要21步。如果把5位二进制数依次写完，就是
       
        　　10111－11101－22－10110
       
        　　00111－11100－23－10111
       
        　　00101－10100－24－11000
       
        　　10101－10101－25－11001
       
        　　11101－10111－26－11010
       
        　　01101－10110－27－11011
       
        　　01001－10010－28－11100
       
        　　11001－10011－29－11101
       
        　　10001－10001－30－11110
       
        　　00001－10000－31－11111

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        　　这说明，对于只有5个环的五连环，从初始到状态11111用的不是并不是最多，到状态00001才是最多，用31步。类似，对于九连环，从初始到状态111111111用的不是并不是最多，到状态000000001才是最多，用511步。由于格雷码111111111表示二进制数101010101，表示十进制数341，故从初始状态到9个环全部上去用341步。这就是九连环中蕴涵的数学内涵。
       
        　　注由二进制数转换为格雷码：从右到左检查，如果某一数字左边是0，该数字不变；如果是1，该数字改变（0变为1，1变为0）。例，二进制数11011的格雷码是10110.
       
        　　由格雷码表示变为二进制数：从右到左检查，如果某一数字的左边数字和是偶数，该数字不变；如果是奇数，该数字改变。
       
        　　例格雷码11011表示为二进制数是10010.
       
        　　以上可以用口诀帮助记忆：2G一改零不改，G2奇变偶不变。
       
        　　例设九连环的初始状态是110100110，要求终止状态是001001111，简单解法与完整解法各需要多少步？过程如何？
       
        　　解初始状态110100110，格雷码是011001011，转换为二进制数是010001101，相应十进制数是141.终止状态是001001111，格雷码是111100100，转换为二进制数是101000111，相应十进制数是327.二者差326－141＝186，完整解法需要186步。
       
        　　简单解法步数，我们由141，327分别求相应的简单步数，
       
        　　对于N=141，得到N0=103；对于N=327，N0=242.二者差139，故简单步数139.这个结果很容易在下一页九连环电脑游戏上验证。