六年级奥数试题：染色问题专题2（附答案详解）

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二十 染色问题(2)
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2016-8-19 14:54 上传

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1.下图是一套房子的平面图,图中的方格代表房间,每个房间都有通向任何
一个邻室的门.有人想从某个房间开始,依次不重复地走遍每一个房间,他的想法能实现吗?





2.展览会有36个展室(如图),每两相邻展室之间均有门相通.能不能从入口
进去,不重复地参观完全部展室后,从出口出来呢?



3.图中的16个点表示16个城市,两个点之间的连线表示这两个城市有公路
相通.问能否找到一条不重复地走遍这16座城市的路线?

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4.下图是由4个小方格组成的“L”形硬纸片,用若干个这种纸片无重叠地
拼成一个4´n的长方形,试证明:n一定是偶数.




5.中国象棋盘上最多能放几只马互不相“吃”(“马”走“日”字,另不考虑“别马腿”的情况).

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    6.能否用一个田字和15个4´1矩形覆盖8´8棋盘?




7.能否用1个田字和15个T字纸片,拼成一个8´8的正方形棋盘?




8.在8´8棋盘上,马能否从左下角的方格出发,不重地走遍棋盘,最后回到起点?若能请找出一条路,若不能,请说明理由.
9.下面三个图形都是从4´4的正方形分别剪去两个1´1的小方格得到的,问可否把它们分别剪成1´2的七个小矩形?
               

      (1)                             

     (2)  

    (3)        

10.把三行七列的21个小格组成的矩形染色,每个小格染上红、蓝两种色中的一种.求证:总可以找到4个同色小方格,处于某个矩形的4个角上(如图)

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1                          2                          3

红	红	红	红

11.17个科学家互相通信,在他们的通信中共讨论3个问题,而任意两个科学家之间仅讨论1个问题.证明:至少有3个科学家,他们彼此通信讨论的是同一个问题.
12.用一批1´2´4的长方体木块,能不能把一个容积为6´6´6的正方体木箱充塞填满?说明理由.
13.在平面上有一个27´27的方格棋盘,在棋盘的正中间摆好81枚棋子,它们被罢成一个9´9的正方形.按下面的规则进行游戏:每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子,放进紧挨着这枚棋子的空格中,并把越过的这格棋子取出来.问:是否存在一种走法,使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子?
14.12´12的超极棋盘上,一匹超级马每步跳至3´4矩形的另一角(如图).问能否从任一点出发遍历每一格恰一次,再回到出发点(这种情况又称马有“回路”)?

			O
O

———————————————答 案——————————————————————

    1.  不能.对房间染色,使最下面的两个房间染成黑色,与黑色相邻的房染成白色,则图中有7个黑色房间和5个白色房间.如果要想不重复地走过每一个房间,黑色与白色房间数应该相等.故题中的想法是不能实现的.
    2.  不能.对展室进行染色,使相邻两房间分别是黑色和白色的.此时入口处展室的颜色与出口处展室的颜色是相同的,而不重复参观完36个展室,入口与出口展室的颜色应该不相同.
    3.  不能.对这16个城市进行黑白相间的染色,一种颜色有9个,另一种颜色有7个.而要不重复地走遍这16个城市,黑色与白色的个数应该相等.
    4.  如图,对4´n长方形的各列分别染上黑色和白色.任一L形纸片所占的方格只有两类:第一类占3黑1白,第二类占3白1黑.

n个

设第一类有a个,第二类有b个,因为涂有两种颜色的方格数相等,故有3b+a=3a+b,即a=b,也就是说第一类与第二类相等,因此各种颜色的方格数都是4的倍数,总数是8的倍数,从而n是偶然.
5.  将棋盘黑白相间染色,由“马”的走法可知,放在黑点上的“马”,只能吃放在某些白点上的马.整个棋盘上黑、白点的个数均为45,故可在45个黑点放上马,它们是不能互吃的.
6.  如图的方式对棋盘染色.那么一个田字形盖住1个或3个白格,而一个4´1的矩形盖住2个白格.这样一来一个田字和15个4´1的矩形能盖住的白格数是一个奇数,但上图中的白格数是一个偶数,因此一个田字形和15个4´1的矩形不能复盖8´8的棋盘.


7.  将棋盘里黑白相间涂色.一个田字形盖住2个白格,一个T字形盖住3个或1个白格.故1个田字和15个T字盖住的白格数是一个奇数,但棋盘上的白格数是一个偶数.因此一个田字形和15个T字形不能盖住8´8的棋盘.

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8.  将棋盘黑白相间地染色后,马的走法是从一种颜色的格子跳到另一种颜色.棋盘上有32个白格与32个黑格,故马可能跳遍整个棋盘.图中给出了一种走法.

56	41	58	35	50	39	60	33
47	44	55	40	59	34	51	38
42	57	46	49	36	53	32	61
45	48	43	54	31	62	37	52
20	5	30	63	22	11	16	13
29	64	21	4	17	14	25	10
6	19	2	27	8	23	12	15
1	28	7	18	3	26	9	24

9.  先对4´4的棋盘黑白相间的涂色(如图),这道题的实际问题是问7个1´2矩形能否分别复盖剪去A、B；剪去A、C；剪去A、D的三个棋盘.若7个1´2矩形可以复盖剪残的棋盘,因为每个1´2矩形均可盖住一个白格和一个黑格,所以棋盘的白格与黑格数目应该相等.都是7个.而剪去A格和C格的棋盘(2)有5个白格8个黑格,剪去A、D的棋盘(3)有5个白格8个黑格,因此这两个剪损的棋盘均不能被7个1´2矩形复盖,也就不能剪成7个1´2的矩形.

A
		B
		C
			D

棋盘(1)可以被7个1´2的矩形所复盖.下面给出一种剪法:

A	1	1	2
7	7	B	2
6	5	4	3
6	5	4	3

10.  在第一行的7格中必有4格同色,不妨设这4格位于前4个位置,且均为红色.
然后考虑前4列构成的3´4矩形.若第二行和第3行中出现2个或2个以上的红色格子.则该行的两个红色格子与第一行的红色格子就组成一个4角同为红色格子的矩形.
若不然,则第2、3行中都至少有3个蓝格在前4列中,不妨设第2行前3格为蓝色,显然第三行中的前3格中至少有2个蓝格，故在二、三行的前4列中必存在四角都是蓝色的矩形.
11.  将17个科学家用17个点代表,两点之间连结的线段表示两个科学家之间讨论的问题.用三种颜色给这些线段染色,表示三个问题,于是问题就变成:给17个点之间的所有连结线段用三种颜色染色,必有同色三角形.
从任意一点,不妨设从A向其他16点A1,A2,…A16共可连成16条线段,用三种颜色染色,由抽屉原则可知,必有6条线段同色.设这6条线段为AA1,AA2,…AA6且同为红色.
考虑A1,A2,A3,A4,A5,A6这六点之间的连线,若有一条为红色,(如A1A2为红色) ,则三角形AA1A2为红色的同色三角形.

A

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A1

A2

A3

A4

若这六点之间的连线中,没有一条是红色的,则它们之间只能涂两种颜色.考虑从A1引出的五条线段A1A2  A1A3  A1A4  A1A5  A1A6,由抽屉原理知,其中必有三条是同色的.不妨设这三条为A1A2  A1A3  A1A4,且同为蓝色.若三角形A2A3A4的三边中有一条为蓝色的,则有一个蓝色的三角形存在;若三角形A2A3A4三边都不是蓝色的,则它的三边是同为第三色的同色三角形.





12.  把正方体木箱分成27个小正方体,每个小正方体的体积为2´2´2=8.将这些正方体如右图黑白相间染上色.显然黑色2´2´2的正方体有14个,白色2´2´2小正方体有13个.每一个这样的正方体相当于8个1´1´1的小正方体.






将1´2´4的长方体放入木箱,无论怎么放,每个长方体木块盖住8个边长为1的单位正方体,其中有4个黑色的,4个白色的.木箱共含6´6´6=216个单位正方体,26个长方体木块共盖住8´26=208个单位正方体,其中黑白各占104个,余下216-208=8个单位正方体是黑色的.但是第27个1´2´4长方体木块不管怎样放,也无法盖住这8个黑色单位正方体.
13.  如图,将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色,这种染色方式将棋盘分成了三个部分.按照游戏规则,每走一步,有两种颜色方格中的棋子数分别减少了1个,而第三种颜色的棋子数增加了一个.这表明每走一步,每个部分的棋子的奇偶性要发生改变.


因为一开始时,81枚棋子摆成一个9´9的正方形,显然三个部分的棋子数是相同的,从而每走一步,三部分中的棋子数的奇偶性是相同的.如果走了若干步以后,棋盘上恰好剩下一枚棋子,则两部分上的棋子数为偶数,而另一部分上的棋子数为奇数.这种结果是不可能出现的.
14.  用两种方法对超级棋盘染色.
首先,将棋盘黑白相间染色,则马每跳一步,它所在的方格就要改变一次颜色.不妨设第奇数步跳入白格.










其次,将棋盘的第3,4,5及8,9,10这六行染成黑色,其余六行染成白色.在此种染色方式下,马从白格一定跳入黑格.又因黑白格总数相同,马要遍历每一格恰一次又回到出发点,因此,马从黑格只能跳入白格而不能跳入黑格.不妨设马第奇数步跳入白格.
但是对于一种满足要求跳法,在两种染色方式下第奇数步跳入的格子的全体是不同的,这显然是不可能的,故题目要求的跳法是不存在的.