六年级奥数试题：容斥原理2（附答案详解）

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十七 容斥原理(2)
     年级     班        姓名     得分     
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    一、填空题
    1.某校有500名学生报名参加学科竞赛,数学竞赛参加者共312名,作文竞赛参加者共353名,其中这两科都参加的有292名,那么这两科都没有参加的人数为    人.
    2.某门诊部统计某一天挂号的病人,内科150人,外科92人,其中内、外两科都求诊的18人，这一天共来了     个病人.

2

2

1.5

1.5

3

3

3.两个正方形的纸片盖在桌面上,位置与尺寸如图所示,则它们盖住     
(平方厘米).







4.不超过30的正整数中,是3的倍数或4的倍数的数有     个.
5.在一次运动会中,甲班参加田赛的有15人,参加径赛的有12人,参加田赛又参加径赛的有7人,没有参加比赛的有21人.那么甲班共有     人.

A

B

C

    6.在桌面上放置着三个两两重叠的圆纸片(如图),它们的面积都是100(cm2)并知A、B两圆重叠的面积是20(cm2),A、C两圆重叠的面积为45(cm2),B、C两圆重叠面积为31(cm2),三个圆共同重叠的面积为15(cm2),求盖住桌子的总面积是      平方厘米.







7.在一次考试中,某班数学得100分的有17人,语文得100分的有13人,两科都得100分的有7人,那么两科中至少有一科得100分的共有     人.全班45人中两科都不得100分的有     人.
8.在1,2,3,…,1000这1000个自然数中,既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有     个.
9.小于1000的自然数中,是完全平方数而不是完全立方数的数有     个.
10.某校有学生960人,其中有510人订阅“作文报”,有330人订阅“数学报”,有120人订阅“科学爱好者”,全校学生中有270人订阅两种报刊,有58人三种报刊都订,那么这学校中没有订阅任何报刊的有     人.

二、解答题
11.70名学生参加体育比赛,短跑得奖的31人,投掷得奖的36人,弹跳得奖的29人,短跑与投掷二项均得奖的12人,跑、跳、投三项均得奖的有5人,只得弹跳奖的有7人,只得投掷奖的有15人.
    求(1)只得短跑奖的人数;
(2)得二项奖的总人数;
(3)一项奖均未得的人数.

jzsix

12.64人订A、B、C三种杂志.订A种杂志的28人,订B种杂志的有41人,订C种杂志的有20人, 订A、B两种杂志的有10人,订B、C两种杂志的有12人,订A、C两种杂志的有12人,问三种杂志都订的有多少人?
13.求从1到1994中不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数.
14.夏日的一天,有十个同学去吃冷饮.向服务员交出需要冷饮的统计,数字如下,有6个人要可可,有5个人要咖啡,有5个人要果汁,有3个人既要可可又要果汁,有一个人既要可可、咖啡又要了果汁.
求证其中一定有一个人什么冷饮也没有要.




———————————————答 案——————————————————————

    1.  127
从图中可以看出:参加数学、作文竞赛的总人数为312+353-292=373(人)
从而可知这两科都没有参加的人数为500-373=127(人).

数学             312

作文             353

292

?

2.  224

内科             150人

外科             92人

18             人

从图可以看出,来诊病人总数为150+92-18=224(人).






    3.  10.75
把两个正方形面积加起来得22+32=13,但其中多算了一块阴影部分的面积,这部分面积为1.52=2.25(平方厘米),故两个正方形盖住的总面积是22+32-1.52=13-2.25=10.75(cm2)
4.  15
不超过30的3的倍数有 (个),不超过30的4的倍数有 (个);不超过30的3´4=12的倍数有 (个),因此不超过30的正整数中是3的倍数,或是4的倍数的数共有10+7-2=15(个).
5.  41
如图所示,易知总人数为(15+12-7)+21=41(人).

田赛

径赛

15

12

7

21

    6.  219
由容斥原理知,盖住桌面的总面积为100+100+100-(20+45+31)+15=219(平方厘米).
7.  23;22

数学

语文

7

17

13

至少一科得100分的有17+13-7=23(人),两科都不得100分的有45-23=22(人).


8.  333
在1~1000的自然数中,2的倍数有 (个),3的倍数有 (个),2´3=6的倍数共有 (个),故是2或是3的倍数共有500+333-166=667(个),从而既不是2的倍数,又不是3的倍数的数共有1000-667=333(个).
9.  28
小于1000的自然数中,是完全平方数的有12、22、…,312共31个.其中12=13,82=43,272=93.又是完全立方数,故符合条件的数有31-3=28(个)
10.  121
由容斥原理知,或订“作文报”或订“数学报”或订“科学爱好者”的总人数为
510+330+120-270+58=748(人)
故三种报刊都没有订的人数为960-748=212(人).
11.        (1)如图,用矩形表示参赛的70个学生,而用三个圆表示分别在跑、
跳、投中得奖的人.

跑

跳

投

15

7

5

z

x

y

u

设x为只得短跑奖的人数,y为只在短跑和弹跳两项得奖的人数,z为只在弹跑与投掷两项得奖的人数,u为只在投掷和短跑两项得奖的人数.则有u=12-5=7(人),z=36-15-12=9(人),y=29-5-7=8(人),x=31-12-8=11(人).即只得短跑奖的有11人.
(2)得二次奖的人数为y+z+u=8+9+7=24(人).
(3)因至少得一次奖的人数为x+y+z+u+5+7+15=62(人),故一项奖均未得的人数为70-62=8(人).

A

B

C

x

12.  设三种杂志均订的人数为x,则有28+41+20-10-12-12+x=64,解得x=9,即三种杂志都订的有9人.







    13.  在1~1994中,能被5整除的个数为 ;能被6整除的个数为 ;能被7整除的个数为 ;能被5´6=30整除的个数为 ;能被5´7=35整除的数为 ;能被6´7=42整除的个数为 ;能被5´6´7=210整除的个数为 .
根据容斥原理,1~1994中或能被5,或能被6,或能被7整除的数的个数为:(398+332+284)-(66+54+47)+9=854,从而不能被5整除,也不能被6或7整除的自然数的个数为1994-854=1140(个).
14.  要了冷饮的总人数为6+5+5-3-2-3+1=9(人),但总人数为10人,故一定有一个人什么冷饮也没有要.