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发表于 2016-8-19 15:54:33
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14.设 …, 是任意互异的12个整数,试证明其中一定存在8个整数 …, ,使得: 恰是1155的倍数.
———————————————答 案——————————————————————
1. 6
将42名同学看成42个抽屉,因为212=5´42+1,故至少有一个抽屉中有6本或6本以上的书.
2. 18
因210=17´12+16,故一定有18个或18个以上同学在同一月出生.
3. 2
这40名同学的年龄最多相差36个月(三年)因40=1´36+4,故必有2人是同年、同月出生的.
4. 5
从极端考虑:即使先取走取的4个球都是不同色的,那么取第5个球时就必有二球同色了.
5. 21
将球按颜色分成4类,每次各取5个时,也无6球同色,故应取(6-1)´4+1=21(个)球,才能保证一定有6球同色.
6. 21
将布袋中的木块按编号分成60¸6=10(类)要保证其中某一类至少有三个,至少应拿出(3-1)´10+1=21(块).
7. 6
每箱数目是120~144,共有25种可能.因126=5´25+1,故至少有5+1=6(个)装相同苹果数的箱子,即n最小为6.
8. 11
当摸出10根时,可能是8根黑筷,白筷,红筷各一根,没有“不同颜色的二双”.当摸出11根时,至多有8根属于同一颜色,那么另3根中至少有二根是同色的.
9. 23
当摸出22只球时,可能有9对同色球,但剩余四球分别为红、蓝、黄、白各一只,达不到10对,另一方面,每摸出5个球,就会出现一对同色球,将这一对挪开,再摸出两个球,就必然会又出现一对红色球,如此下去,摸出23只球就能保证有10对同色球.
10. 11
两支笔的种类可分为同色与异色.同色的有4种,异色的有3+2+1=6种,为了保证至少有两次抓到笔的种类完全相同,至少要抓1´10+1=11(次).
11. 浏览一个地方的,有3种,浏览二个地方的,有3种,浏览三个地方的,有1种,一个地方也不去的,有1种,共有8种方式.故至少有 (人).浏览的地方是完全相同的.
12. 给出的数是一个等差数列,它一共有25个数,将这25个组分成13组: .
在这25个数中任取14个数来,必有二数属于上述13组中的同一组,故这一组二数之和是102.
13. 如图,将三角形三边中点连结起来,就将原三角形分成了四个小三角
形, 其边长均为 ,在原三角形内,任意给5个点,其中至少有两点在同一个小三角形内,这两点的距离小于小三角形的边长 .
14. 对1155分解质因数得1155=3´5´7´11.
在所给的12数中,必有2数除以11,余数相同,设这2数为x1,x2,则(x1-x2)是11的倍数.
在剩下的数中,必有2数除以7,余数相同,设这2数为x3,x4,则(x3-x4)是7的倍数.
在剩下的8数中,必有2数除以5,余数相同,设这2数为x5,x6,则(x5-x6)是5的倍数.
在剩下的6数中,必有2数除以3,余数相同,设这二数为x7,x8,则(x7-x8)是3的倍数.
故存在8个数x1,x2,…x8,使(x1-x2) (x3-x4) (x5-x6) (x7-x8)是1155的倍数.
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