五、构造法
构造法是一种重要的数学方法,它灵活多样,数论中的许多问题都可以通过构造某些特殊结构、特殊性质的整数或整数的组合来解决。
例5 9999和99!能否表示成为99个连续的奇自然数之和?
解:9999能。因为9999等于99个9998之和,所以可以直接构造如下:
9999=(9998-98)+(9998-96)+…+
=(9998-2)+9998+(9998+2)+…+
=(9998+96)+(9998+98)。
99!不能。因为99!为偶数,而99个奇数之和为奇数,所以99!不能表示为99个连续奇数之和。
说明:利用构造法证明存在性问题,只要把满足题设要求的数学对象构造出来就行。
例6 从1,2,3,…,999这999个数中,要求划去尽量少的数,使得余下的数中每一个数都不等于另外两个数的乘积。应划去哪些数?
解:我们可划去2,3,…,30,31这30个数,因为划去了上述这30个数之后,余下的数中,除1以外的任何两个数之积将大于322=1024>999。
另一方面,可以通过构造三元数组来证明30是最少的个数。
(2,61,2×61),(3,60,3×60),(4,59,4×59),…,
(30,33,30×33),(31,32,31×32)。
上面写出的这些数都是互不相同的,并且这些数中的最大数为 31×32=992。如果划去的数少于30个,那么上述三元数组至少剩下一个,这样就不满足题设条件。所以,30是最少的个数。
六、配对法
配对的形式是多样的,有数字的凑整配对,也有集合间元素与元素的配对(可用于计数)。传说高斯8岁时求和(1+2+…+100)首创了配对。像高斯那样,善于使用配对技巧,常常能使一些表面上看来很麻烦,甚至很棘手的问题迎刃而解。
例7 求1,2,3,…,9999998,9999999这9999999个数中所有数码的和。
解:在这些数前面添一个数0,并不影响所有数码的和。将这1000万个数两两配对,因为0与9999999,1与9999998,…,4999999与5000000各对的数码和都是9×7=63。这里共有5000000对,故所有数码的和是63×5000000=315000000。
例8 某商场向顾客发放9999张购物券,每张购物券上印有一个四位数的号码,从0001到9999号。若号码的前两位数字之和等于后两位数字之和,则称这张购物券为“幸运券”。例如号码 0734,因 0+7=3+4,所以这个号码的购物券是幸运券。试说明,这个商场所发的购物券中,所有幸运券的号码之和能被101整除。
解:显然,号码为9999的是幸运券,除这张幸运券外,如果某个号码n是幸运券,那么号码为m=9999-n的购物券也是幸运券。由于9999是奇数,所以m≠n。
由于m+n=9999,相加时不出现进位,所以除去号码是9999这张幸运券之外,其余所有幸运券可全部两两配对,而每一对两个号码之和均为9999,即所有幸运券号码之和是9999的倍数。
因为9999=99×101,所以所有幸运券号码之和能被101整除。
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试说明分子m是质数89的倍数。
解法一:仿照高斯求和(1+2+3+…+n)的办法,将和
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①②两式相加,得
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从而
2m×88!=89×k(k是正整数)。
因为89为奇质数,所以89不能整除 88!,从而89|m。
解法二:作配对处理
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将括号内的分数进行通分,其公分母为
1×88×2×87×3×86×…×44×45=88!,
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从而
m×88!=89×k(k=n×q)。
因为89为奇质数,所以89不能整除88!,从而89|m。
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