六年级奥数课堂：溶液问题

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六年级奥数课堂：溶液问题
        　一碗糖水中有多少糖，这就要用百分比浓度来衡量.放多少水和放多少糖能配成某一浓度的糖水，这就是配比问题.在考虑浓度和配比时，百分数的计算扮演了重要的角色，并产生形形色色的计算问题，这是小学数学应用题中的一个重要内容.
        　　从一些基本问题开始讨论.
        　　例15 基本问题一
        　　（1）浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？
        　　（2）浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？
        　　解：（1）浓度10％，含糖 80×10％＝ 8（克），有水80-8＝72（克）.
        　　如果要变成浓度为8％，含糖8克，糖和水的总重量是8÷8％＝100（克），其中有水
        　　100-8＝92（克）.
        　　还要加入水 92- 72＝ 20（克）.
        　　（2）浓度为20％，含糖40×20％＝8（克），有水40- 8＝ 32（克）.
        　　如果要变成浓度为40％，32克水中，要加糖x克，就有
        　　x∶32＝40％∶（1-40％），
         
        　

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        　　例16 基本问题二
        　　20％的食盐水与5％的食盐水混合，要配成15％的食盐水900克.问：20％与5％食盐水各需要多少克？
        　　解： 20％比15％多（20％-15％）， 5％比15％少（15％-5％），多的含盐量
        　　（20％-15％）×20％所需数量
        　　要恰好能弥补少的含盐量
        　　（15％-5％）×5％所需数量.
        　　也就是
       

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        　　画出示意图：
       

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        　　相差的百分数之比与所需数量之比恰好是反比例关系.
        　　

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        　　答：需要浓度 20％的 600克，浓度 5％的 300克.
        　　这一例题的方法极为重要，在解许多配比问题时都要用到.现在用这一方法来解几个配比的问题.
        　　例17 某人到商品买红、蓝两种笔，红笔定价5元，蓝笔定价9元.由于买的数量较多，商店就给打折扣.红笔按定价 85％出售，蓝笔按定价 80％出售.结果他付的钱就少了18％.已知他买了蓝笔 30支，问红笔买了几支？
        　　解：相当于把两种折扣的百分数配比，成为1-18％＝82％.
        　　（85%-82％）∶（82%-80％）＝3∶2.
        　　按照基本问题二，他买红、蓝两种笔的钱数之比是2∶3.
        　　设买红笔是x支，可列出比例式
        　　5x∶9×30＝2∶3
       

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        　　答：红笔买了 36支.
        　　配比问题不光是溶液的浓度才有的，有百分数和比，都可能存在配比.要提请注意，例17中是钱数配比，而不是两种笔的支数配比，千万不要搞错.
        　　例18 甲种酒精纯酒精含量为72％，乙种酒精纯酒精含量为58％，混合后纯酒精含量为 62％.如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25％.问第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？
        　　解：利用例16的方法，原来混合时甲、乙数量之比是
       

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        　　后一次混合，甲、乙数量之比是
         
        　

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        　　这与上一讲例 14是同一问题.都加15，比例变了，但两数之差却没有变.
        　　5与2相差3，5与3相差2.前者3份与后者2份是相等的.把2∶5中前、后两项都乘2，3∶5中前、后两项都乘3，就把比的份额统一了，即
        　　

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        　　现在两个比的前项之差与后项之差都是5.15是5份，每份是3.原来这
       

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        　　答：第一次混合时，取甲酒精12升，乙酒精30升.
        　　例19 甲容器中有8％的食盐水300克，乙容器中有12.5％的食盐水 120克.往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度一样.问倒入多少克水？
        　　解：要使两个容器中食盐水浓度一样，两容器中食盐水重量之比，要与所含的食盐重量之比一样.
        　　甲中含盐量：乙中含盐量
        　　= 300×8％∶120×12.5％
        　　= 8∶5.
        　　现在要使
        　　（300克+倒入水）∶（120克+倒入水）＝8∶5.
        　　把“300克+ 倒入水”算作8份，“120克+ 倒入水”算作5份，每份是
        　　（300-120）÷（8-5）= 60（克）.
        　　倒入水量是 60×8-300＝ 180（克）.
        　　答：每一容器中倒入 180克水.
        　　例20 甲容器有浓度为2％的盐水 180克，乙容器中有浓度为 9％的盐水若干克，从乙取出 240克盐水倒入甲.再往乙倒入水，使两个容器中有一样多同样浓度的盐水.问：
        　　（1）现在甲容器中食盐水浓度是多少？
        　　（2）再往乙容器倒入水多少克？
        　　解：（1）现在甲容器中盐水含盐量是
        　　180×2％＋ 240×9％＝ 25.2（克）.
        　　浓度是
        　　25.2÷（180 ＋ 240）× 100％= 6％.
        　　（2）“两个容器中有一样多同样浓度的盐水”，也就是两个容器中含盐量一样多.在乙中也含有25.2克盐.因为后来倒入的是水，所以盐只在原有的盐水中.在倒出盐水 240克后，乙的浓度仍是 9％，要含有 25.2克盐，乙容器还剩下盐水25.2÷9％＝280（克），
        　　还要倒入水420-280＝140（克）.
        　　答：（1）甲容器中盐水浓度是6％；
        　　（2）乙容器再要倒入140克水.
        　　例21 甲、乙两种含金样品熔成合金.如甲的重量是乙的一半，得到含

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        　　乙两种含金样品中含金的百分数.
        　　解：因为甲重量增加，合金中含金百分数下降，所以甲比乙含金少.
        　　用例17方法，画出如下示意图.
       

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        　　因为甲与乙的数量之比是1∶2，所以
        　　（68％-甲百分数）∶（乙百分数-68％）
        　　＝2∶1
        　　＝ 6∶3.
        　　

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        　　注意：6+3＝2＋7＝9.
        　　

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        　　那么每段是
       

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        　　因此乙的含金百分数是
       

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        　　甲的含金百分数是
       

         
        　　答：甲含金 60％，乙含金 72％.
        　　用这种方法解题，一定要先弄清楚，甲和乙分别在示意图线段上哪一端，也就是甲和乙哪个含金百分数大.