计数问题之递推法例题讲解三

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　　计数问题之递推法例题讲解三
        　　例题： 2000个学生排成一行，依次从左到右编上1～2000号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人继续按一、二报数，报一的离开队伍，…… 按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？最后留下的这个人原来的号码是多少？
        答案详解见下页

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        　　分析与解答：
       
        　　难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这2000名同学中选出20人代替2000人进行分析，试着找出规律，然后再用这个规律来解题。
       
        　　这20人第一次报数后共留下10人，因为20÷2＝10 ，这10人开始时的编号依次是：2、4、6、8、10、12、14、16、18、20，都是2的倍数。
       
        　　第二次报数后共留下5人，因为10÷2＝5 ，这5人开始时的编号依次是： 4、8、12、16、20，都是4的倍数，也就是2×2的倍数。
       
        　　第三次报数后共留下2人，因为5÷2＝2 ……1 ，这2人开始时的编号依次是： 8、16，都是8的倍数，也就是2×2×2的倍数。
       
        　　第四次报数后共留下1人，因为2÷2＝1 ，这1人开始时的编号是：16，都是8的倍数，也就是2×2×2×2的倍数。
       
        　　由此可以发现，第n次报数后，留下的人的编号就是n个2的连乘积，这是一个规律。
       
        　　2000名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢?
       
        　　第一次：2000÷2＝1000       第二次：1000÷2＝500
       
        　　第三次：500÷2＝250         第四次：250÷2＝125
       
        　　第五次：125÷2＝62 ……1    第六次：62÷2＝31
       
        　　第七次：31÷2＝15 ……1     第八次：15÷2＝7 ……1
       
        　　第九次：7÷2＝3 ……1       第十次：3÷2＝1 ……1
       
        　　所以共需报10次数。
       
        　　那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是：
       
        　　2×2×2×…×2＝1024（号）