计数问题之递推法例题讲解四

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　　计数问题之递推法例题讲解四
        　　例题： 平面上有10个圆，最多能把平面分成几部分？
        答案详解见下页

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        　　分析与解答：
       
        　　直接画出10个圆不是好办法，先考虑一些简单情况。
       
        　　一个圆最多将平面分为2部分；
       
        　　二个圆最多将平面分为4部分；
       
        　　三个圆最多将平面分为8部分；
       
        　　当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时，第二个圆与第一个圆有2个交点，这两个交点将新加的圆弧分为2段，其中每一段圆弧都将所在平面的一分为二，所以所分平面部分的数在原有的2部分的基础上增添了2部分。因此，二个圆最多将平面分为2＋2＝4部分。
       
        　　同样道理，三个圆最多分平面的部分数是二个圆分平面为4部分的基础上增加4部分。因此，三个圆最多将平面分为2＋2＋4＝8部分。
       
        　　由此不难推出：画第10个圆时，与前9个圆最多有9×2＝18个交点，第10个圆的圆弧被分成18段，也就是增加了18个部分。因此，10个圆最多将平面分成的部分数为：
       
        　　2＋2＋4＋6＋…＋18
       
        　　＝2＋2×（1＋2＋3＋…＋9）
       
        　　＝2＋2×9×（9＋1）÷2
       
        　　＝92
       
        　　类似的分析，我们可以得到，n个圆最多将平面分成的部分数为：
       
        　　2＋2＋4＋6＋…＋2（n－1）
       
        　　＝2＋2×[1＋2＋3＋…＋（n－1）]
       
        　　＝2＋n（n－1）
       
        　　＝n2－n＋2