五年级奥数题及答案：容斥原理问题

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　　1． 有100种赤贫.其中含钙的有68种,含铁的有43种,那么,同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是( )
       
        　　A 43,25 B 32,25 C32,15 D 43,11
       
        　　解：根据容斥原理最小值68+43-100＝11
       
        　　最大值就是含铁的有43种
       
        　　2．在多元智能大赛的决赛中只有三道题.已知:(1)某校25名学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;(2)在所有没有解出第一题的学生中,解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍:(3)只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1人;(4)只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,那么只解出第二题的学生人数是( )
       
        　　A，5 B，6 C，7 D，8
       
        　　解：根据“每个人至少答出三题中的一道题”可知答题情况分为7类：只答第1题，只答第2题，只答第3题，只答第1、2题，只答第1、3题，只答2、3题，答1、2、3题。
       
        　　分别设各类的人数为a1、a2、a3、a12、a13、a23、a123
       
        　　由（1）知：a1+a2+a3+a12+a13+a23+a123＝25…①
       
        　　由（2）知：a2+a23＝（a3+ a23）×2……②
       
        　　由（3）知：a12+a13+a123＝a1－1……③
       
        　　由（4）知：a1＝a2+a3……④
       
        　　再由②得a23＝a2－a3×2……⑤
       
        　　再由③④得a12+a13+a123＝a2+a3－1⑥
       
        　　然后将④⑤⑥代入①中，整理得到
       
        　　a2×4+a3＝26
       
        　　由于a2、a3均表示人数，可以求出它们的整数解：
       
        　　当a2＝6、5、4、3、2、1时，a3＝2、6、10、14、18、22
       
        　　又根据a23＝a2－a3×2……⑤可知：a2>a3
       
        　　因此，符合条件的只有a2＝6，a3＝2。
       
        　　然后可以推出a1＝8，a12+a13+a123＝7，a23＝2，总人数＝8+6+2+7+2＝25，检验所有条件均符。
       
        　　故只解出第二题的学生人数a2＝6人。
       
        　　3．一次考试共有5道试题。做对第1、2、3、、4、5题的分别占参加考试人数的95%、80%、79%、74%、85%。如果做对三道或三道以上为合格，那么这次考试的合格率至少是多少？
       
        　　答案：及格率至少为71％。
       
        　　假设一共有100人考试
       
        　　100-95＝5
       
        　　100-80＝20
       
        　　100-79＝21
       
        　　100-74＝26
       
        　　100-85＝15
       
        　　5+20+21+26+15＝87（表示5题中有1题做错的最多人数）
       
        　　87÷3＝29（表示5题中有3题做错的最多人数，即不及格的人数最多为29人）
       
        　　100-29＝71（及格的最少人数，其实都是全对的）
       
        　　及格率至少为71％