三年级下册第十一讲 鸡兔同笼问题

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　　例1 （古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？
        　　分析 如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。
        　　解：①鸡有多少只？
        　　（4×6-128）÷（4-2）
        　　=（184-128）÷2
        　　=56÷2
        　　=28（只）
        　　②免有多少只？
        　　46-28=18（只）
        　　答：鸡有28只，免有18只。
        　　我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是兔.于是根据鸡兔的总只数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看相差多少.每差2只脚就说明有一只鸡；将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只鸡.我们称这种解题方法为假设法.概括起来，解鸡兔同笼问题的基本关系式是：
        　　鸡数=（每只兔脚数× 兔总数- 实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）
        　　兔数=鸡兔总数-鸡数
        　　当然，也可以先假设全是鸡。
        　　例2 鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只？
        　　分析 这个例题与前面例题是有区别的，没有给出它们脚数的总和，而是给出了它们脚数的差.这又如何解答呢？
        　　假设100只全是鸡，那么脚的总数是2×100=200（只）这时兔的脚数为0，鸡脚比兔脚多200只，而实际上鸡脚比兔脚多80只.因此，鸡脚与兔脚的差数比已知多了（200-80）=120（只），这是因为把其中的兔换成了鸡.每把一只兔换成鸡，鸡的脚数将增加2只，兔的脚数减少4只.那么，鸡脚与兔脚的差数增加（2+4）=6（只），所以换成鸡的兔子有120÷6=20（只）.有鸡（100-20）=80（只）。
        　　解：（2×100-80）÷（2+4）=20（只）。
        　　100-20=80（只）。
        　　答：鸡与兔分别有80只和20只。
        　　例3 红英小学三年级有3个班共135人，二班比一班多5人，三班比二班少7人，三个班各有多少人？
        　　分析1 我们设想，如果条件中三个班人数同样多，那么，要求每班有多少人就很容易了.由此得到启示，是否可以通过假设三个班人数同样多来分析求解。
        　　结合下图可以想，假设二班、三班人数和一班人数相同，以一班为标准，则二班人数要比实际人数少5人.三班人数要比实际人数多7-5=2（人）.那么，请你算一算，假设二班、三班人数和一班人数同样多，三个班总人数应该是多少？
       

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        　　解法1：
        　　一班：[135-5+（7-5）]÷3=132÷3
        　　=44（人）
        　　二班：44+5=49（人）
        　　三班：49-7=42（人）
        　　答：三年级一班、 二班、三班分别有44人、 49人和 42人。
        　　分析2 假设一、三班人数和二班人数同样多，那么，一班人数比实际要多5人，而三班要比实际人数多7人.这时的总人数又该是多少？
        　　解法2：（135+ 5+ 7）÷3
        　　=147÷3
        　　=49（人）
        　　49-5=44（人），49-7=42（人）
        　　答：三年级一班、二班、三班分别有44人、49人和42人。
        　　想一想：根据解法1、解法2的思路，还可以怎样假设？怎样求解？
        　　例4 刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船.每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条？
        　　分析 我们分步来考虑：
        　　①假设租的 10条船都是大船，那么船上应该坐 6×10= 60（人）。
        　　②假设后的总人数比实际人数多了 60-（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。
        　　③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。
        　　解：[6×10-(41+1）÷（6-4）
        　　= 18÷2=9（条）
        　　10-9=1（条）
        　　答：有9条小船，1条大船。
        　　例5 有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只？
        　　分析 这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿.因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为 6×18=108（条），所差 118-108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛.这样剩下的18-5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数.再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少 20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.
        　　解：①假设蜘蛛也是6条腿，三种动物共有多少条腿？
        　　6×18=108（条）
        　　②有蜘蛛多少只？
        　　（118-108）÷（8-6）=5（只）
        　　③蜻蜒、蝉共有多少只？
        　　18-5=13（只）
        　　④假设蜻蜒也是一对翅膀，共有多少对翅膀？1×13=13（对）
        　　⑤蜻蜒多少只？
        　　（20-13）÷ 2-1）= 7（只）
        　　答：蜻蜒有7只.