计数之插板法习题一

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　　计数之插板法习题一
        　　插板法就是插板法就是在n个元素间的（n-1）个空中插入 若干个（b）个板，可以把n个元素分成（b+1）组的方法。
        　　应用插板法必须满足三个条件：
        　　（1） 这n个元素必须互不相异
        　　（2） 所分成的每一组至少分得一个元素
        　　(3)    分成的组别彼此相异
        　　举个很普通的例子来说明
        　　把10个相同的小球放入3个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有几种情况？
        　　问题的题干满足 条件（1）（2），适用插板法，c9 2=36
        　　下面通过几道题目介绍下插板法的应用
        　　a  凑元素插板法 （有些题目满足条件（1），不满足条件（2），此时可适用此方法）
        　　1 ：把10个相同的小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
        　　2： 把10个相同小球放入3个不同箱子，第一个箱子至少1个，第二个箱子至少3个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
        　　b 添板插板法
        　　3：把10个相同小球放入3个不同的箱子，问有几种情况？
        　　4：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数共有几个？
        　　5：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数字都恰好是它前面三个数字之和，直至不能再写为止，如2349，1427等等，这类数共有几个？
        答案详解见下页
         

jzthree

        　　答案：
        　　1、3个箱子都可能取到空球，条件（2）不满足，此时如果在3个箱子种各预先放入1个小球，则问题就等价于把13个相同小球放入3个不同箱子，每个箱子至少一个，有几种情况？
        　　显然就是 c12 2=66
        　　2、我们可以在第二个箱子先放入10个小球中的2个，小球剩8个放3个箱子，然后在第三个箱子放入8个小球之外的1个小球，则问题转化为 把9个相同小球放3不同箱子，每箱至少1个，几种方法？ c8 2=28
        　　3、　-o - o - o - o - o - o - o - o - o - o -           o表示10个小球，-表示空位
        　　11个空位中取2个加入2块板，第一组和第三组可以取到空的情况，第2组始终不能取空
        　　此时 若在 第11个空位后加入第12块板，设取到该板时，第二组取球为空
        　　则每一组都可能取球为空   c12 2=66
        　　4、因为前2位数字唯一对应了符合要求的一个数，只要求出前2位有几种情况即可，设前两位为ab
        　　显然a+b
        　　1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -   -           1代表9个1，-代表10个空位
        　　我们可以在这9个空位中插入2个板，分成3组，第一组取到a个1，第二组取到b个1，但此时第二组始终不能取空，若多添加第10个空时，设取到该板时第二组取空，即b=0，所以一共有 c10 2=45
        　　5、类似的，某数的前三位为abc，a+b+c
        　　1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -   -  -
        　　在9个空位种插如3板，分成4组，第一组取a个1，第二组取b个1，第三组取c个1，由于第二，第三组都不能取到空，所以添加2块板
        　　设取到第10个板时，第二组取空，即b=0；取到第11个板时，第三组取空，即c=0。所以一共有c11 3=165