计数之插板法经典例题六

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　　计数之插板法经典例题六
        　　例．现有10个完全相同的球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法?
       
        　　【解析】：题目中球的分法共三类：
       
        　　第一类：有3个班每个班分到2个球，其余4个班每班分到1个球。其分法种数为。
       
        　　第二类：有1个班分到3个球，1个班分到2个球，其余5个班每班分到1个球。其分法种数。
       
        　　第三类：有1个班分到4个球，其余的6个班每班分到1个球。其分法种数。
       
        　　所以，10个球分给7个班，每班至少一个球的分法种数为：。
       
        　　由上面解题过程可以明显感到对这类问题进行分类计算，比较繁锁，若是上题中球的数目较多处理起来将更加困难，因此我们需要寻求一种新的模式解决问题，我们创设这样一种虚拟的情境——插板。
       
        　　将10个相同的球排成一行，10个球之间出现了9个空档，现在我们用“档板”把10个球隔成有序的7份，每个班级依次按班级序号分到对应位置的几个球（可能是1个、2个、3个、4个），借助于这样的虚拟“档板”分配物品的方法称之为插板法。
       
        　　由上述分析可知，分球的方法实际上为档板的插法：即是在9个空档之中插入6个“档板”（6个档板可把球分为7组），其方法种数为。
       
        　　由上述问题的分析解决看到，这种插板法解决起来非常简单，但同时也提醒各位考友，这类问题模型适用前提相当严格，必须同时满足以下3个条件：
       
        　　①所要分的元素必须完全相同；
       
        　　②所要分的元素必须分完，决不允许有剩余；
       
        　　③参与分元素的每组至少分到1个，决不允许出现分不到元素的组。