计数之插板法习题三

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　　计数之插板法习题三
        　　1、将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，要求每个盒子至少放一个球，一共有多少种方法？
        　　2、有9颗相同的糖，每天至少吃1颗，要4天吃完，有多少种吃法？
        　　3、现有10个完全相同的篮球全部分给7个班级，每班至少1个球，问共有多少种不同的分法?
        　　4、将8个完全相同的球放到3个不同的盒子中，一共有多少种方法？
        答案详解见下页
         

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        　　计数之插板法习题三答案详解
        　　1、解析：解决这道问题只需要将8个球分成三组，然后依次将每一组分别放到一个盒子中即可。因此问题只需要把8个球分成三组即可，于是可以讲8 个球排成一排，然后用两个板查到8个球所形成的空里，即可顺利的把8个球分成三组。其中第一个板前面的球放到第一个盒子中，第一个板和第二个板之间的球放 到第二个盒子中，第二个板后面的球放到第三个盒子中去。因为每个盒子至少放一个球，因此两个板不能放在同一个空里且板不能放在两端，于是其放板的方法数是

。（板也是无区别的）
        　　2、解析：原理同上，只需要用3个板插入到9颗糖形成的8个内部空隙，将9颗糖分成4组且每组数目不少于1即可。因而3个板互不相邻，其方法数为

。
        　　3、注释：每组允许有零个元素时也可以用插板法，其原理不同，注意下题解法的区别。
        　　4、解析：此题中没有要求每个盒子中至少放一个球，因此其解法不同于上面的插板法，但仍旧是插入2个板，分成三组。但在分组的过程中，允许两块 板之间没有球。其考虑思维为插入两块板后，与原来的8个球一共10个元素。所有方法数实际是这10个元素的一个队列，但因为球之间无差别，板之间无差别， 所以方法数实际为从10个元素所占的10个位置中挑2个位置放上2个板，其余位置全部放球即可。因此方法数为

。