小学奥数抽屉原理例题详解二

小学教育网 · 发表于 2016-8-17 10:01:15

　　【例题】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被整除？
　　【解析】因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”．一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）．这两个数的差必能被整除．
　　【巩固】四个连续的自然数分别被除后，必有两个余数相同，请说明理由．
　　【解析】想一想，不同的自然数被3除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？
　　把这四个连续的自然数分别除以3，其余数不外乎是0，1，2，把这3个不同的余数当作3个“抽屉”，把这个连续的自然数按照被除的余数，分别放入对应的个“抽屉”中，根据抽屉原理，至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以3的余数相同．
　　【巩固】（第八届《小数报》数学竞赛决赛）将全体自然数按照它们个位数字可分为10类：个位数字是1的为第1类，个位数字是2的为第2类，…，个位数字是9的为第9类，个位数字是0的为第10类．（1）任意取出6个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？（2）任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？如果一定，请简要说明理由；如果不一定，请举出一个反例．
　　【解析】（1）不一定有．例如1、2、3、4、5、10这6个数中，任意两个数的和都不是10的倍数．
　　（2）一定有．将第1类与第9类合并，第2类与第8类合并，第3类与第7类合并，第4类与第6类合并，制造出4个抽屉；把第5类、第10类分别看作1个抽屉，共6个抽屉．任意7个互不同类的自然数，放到这6个抽屉中，至少有1个抽屉里放2个数．因为7个数互不同类，所以后两个抽屉中每个都不可能放两个数．当两个互不同类的数放到前4个抽屉的任何一个里面时，它们的和一定是10的倍数．
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