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1、将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有______种不同的做法 其中面积最大的是哪一种长方形
(1992年"我爱数学"邀请赛试题)
讲析:做成的长方形,长与宽的和是
144÷2=72(厘米).
因为72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36,
所以,一共有36种不同的做法.
比较以上每种长方形长与宽的积,可发现:当长与宽都是36厘米时,面积最大.
2、若干只同样的盒子排成一列，小明把42个同样的小球放在这些盒子里然后外出，小聪从每只盒子里取出一个小球，然后把这些小球放到小球最少的盒子里去，在把盒子从新排列了一下。小明回来，仔细查看，没有发现友人动过小球和盒子。问：一共有多少只盒子？
分析：设原来小球数最少的盒子里装有a只小球，现在增加到了b只，但小明发现没有人动过小球和盒子，这说明现在又有了一只装有a个球的盒子，这只盒子原来装有a+1个小球，
同理，现在另有一个盒子里装有a+1个小球，这只盒子里原来装有a+2个小球。
依此类推可知：原来还有一个盒子里装有a+3个小球，a+4个小球等等，故原来那些盒子里装有的小球数是一些连续自然数。
现在这个问题就变成了：将42分拆成若干个连续整数的和，一共有多少种分法，每一种分法有多少个加数？
因为42=6×7，故可将42看成7个6的和，又：
（7+5）+（8+4）+（9+3）
是六个6，从而：
42=3+4+5+6+7+8+9
一共有7个加数；又因为42=14×3，可将42写成13+14+15，一共有3个加数；
又因为42=21×2，故可将42写成9+10+11+12，一共有4个加数。
解：本题有三个解，一共有7只盒子，4只盒子，3只盒子。
点金术：巧用假设和推理把已知和未知联系起来。
3、将1992表示成若干个自然数的和,如果要使这些数的乘积最大,这些自然数是______.
(1992年武汉市小学数学竞赛试题)
讲析:若把一个整数拆分成几个自然数时,有大于4的数,则把大于4的这个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和,则这个2与大于2的这个数的乘积肯定比它大.又如果拆分的数中含有1,则与"乘积最大"不符.
所以,要使加数之积最大,加数只能是2和3.
但是,若加数中含有3个2,则不如将它分成2个3.因为2×2×2=8,而3×3=9.
所以,拆分出的自然数中,至多含有两个2,而其余都是3.
而1992÷3=664.故,这些自然数是664个3.
4、把50分成4个自然数,使得第一个数乘以2等于第二个数除以2;第三个数加上2等于第四个数减去2,最多有______种分法.
(1990年《小学生报》小学数学竞赛试题)
讲析:设50分成的4个自然数分别是a,b,c,d.
因为a×2=b÷2,则b=4a.所以a,b之和必是5的倍数.
那么,a与b的和是5,10,15,20,25,30,35,40,45.
又因为c+2=d-2,即d=c+4.所以c,d之和加上4之后,必是2的倍数.
则c,d可取的数组有:
(40,10),(30,20),(20,30),(10,40).
由于40÷5=8,40-8=32;(10-4)÷2=3,10-3=7,
得出符合条件的a,b,c,d一组为(8,32,3,7).
同理得出另外三组为:(6,24,8,12),(4,16,13,17),(2,8,18,22).
所以,最多有4种分法.
5、把945写成连续自然数相加的形式,有多少种
(第一届"新苗杯"小学数学竞赛试题)
讲析:因为945=35×5×7,它共有(5+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)奇约数.
所以,945共能分拆成16-1=15(种)不同形式的连续自然数之和.
5、几个连续自然数相加,和能等于1991吗 如果能,有几种不同的答案 写出这些答案;如果不能,说明理由.
(全国第五届《从小爱数学》邀请赛试题)
讲析:1991=11×181,它共有(1+1)×(1+1)=4(个)奇约数.
所以,1991可以分成几个连续自然数相加,并且有3种答案.
由1991=1×1991得:
1991=995+996.
由1991=11×181得:
…+(80+101)
=80+81+……+100+101.
6、一道简单的问题是：用1、＋、×、（）的运算来分别表示23和27，哪个数用的1较少？要表达2008，最少要用多少个1？
我们先给出从1到15的表达式。
1=1,
2=1+1,
3=1+1+1,
4=(1+1)×(1+1)，
5=(1+1)×(1+1)+1,
6=(1+1)×(1+1+1),
7=(1+1)×(1+1+1)+1,
8=(1+1)×(1+1)×(1+1),
9=(1+1+1)×(1+1+1),
10=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1),
11=(1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1,
12=(1+1+1)×(1+1)×(1+1),
13=(1+1+1)×(1+1)×(1+1)+1,
14= (1+1)×((1+1)×(1+1+1)+1),
15= (1+1+1)×((1+1)×(1+1)+1)。
把用1的个数写成数列，就是{1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 7, 8, 8, 8, ...}。
对于23，
23 = (1+1)×((1+1)×((1+1)×(1+1)+1)+1)+1，
1的个数为11。
对于27，
27 = (1+1+1) × (1+1+1) × (1+1+1)
1的个数为9。
对于2008这样的大数，要寻找表达式很困难。
我找到的表达式是
(((1+1)×(1+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1)×(1+1+1)+1)×(1+1+1)×(1+1+1)+1=2008
一共用了24个1，但是不是用了最少的1，证明起来有一定难度。
7、下面这道题出自斯坦福大学入学考试题。
有一天非常热，四对夫妇共饮了44瓶可乐。女士安喝了2瓶，贝蒂喝了3瓶，卡罗尔喝了4瓶，多萝西喝了5瓶。布朗先生和他的妻子喝得一样多，但是其他三位男士都比各自的妻子喝得多：格林先生是其妻的两倍，怀特先生是三倍，史密斯先生是四倍。请说出四位女士的姓。
在美国，妻子与丈夫同姓。解决本题的方法之一是解不定方程。下面我们换一种方法，就是整数的拆分。
44瓶可乐，减去女士已经喝掉的14瓶，还剩30瓶。先按照每个男士和女士喝得一样多，再减掉男士喝掉的14瓶，还剩16瓶。本题的实质是把16拆分成2、3、4、5中的某3个数的1、2、3。倍之和。
显然，5或者4的3倍加上2、3会超过16，3的3倍也不行，只有2的3倍是一个可行的数。
16去掉6后还剩下10。也就是要把10拆分成3、4、5中某2个数的1、2倍之和，结果就是2个3和1个4。
最后，我们得到的答案是
44=2＋3＋4＋5＋4×2＋3×3＋2×4＋1×5。
和题目描述的对比一下，就可以知道四位女士的姓名了：安·史密斯，贝蒂·怀特，卡罗尔·格林，多萝西·布朗。
用整数的拆分方法来解整数方程，也是一条好途径。
8、子女的年龄
题目的描述是这样的：一个经理有3个女儿，3个女儿的年龄加起来等于13，3个女儿的年龄乘起来等于经理自己的年龄，有1个下属已知道经理的年龄，但仍不能确定经理3个女儿的年龄，这时经理说只有1个女儿的头发是黑的，然后这个下属就知道了经理3个女儿的年龄。请问三个女儿的年龄分别是多少？为什么？
题目也可能变为：两个俄国数学家在飞机相遇。伊凡问：如果我没有记错的话，你有3个儿子，他们都多大了？艾格回答：他们的年龄乘积是36，年龄之和是今天的日期。伊凡思考了一分钟后，说：可是你并没有告诉我你儿子的岁数。艾格说：忘了告诉你，我小儿子的头发是红色的。伊凡回答：那就很清楚了，我知道你儿子的岁数了。伊凡是怎么知道艾格儿子们的岁数的？
这道题也很经典，难度不算太大，经常改头换面地出现在各类趣味数学书本中。因为解题过程不需要高深的数学知识，只涉及简单的加数拆分和因素分解，但要求缜密的逻辑性和足够的耐心。
我们把这些都列成表。在女儿猜数中，出现了两个相同的乘积36，导致判断困难，因此可以断定父亲的年龄为36；由于只有一个女儿的头发是黑的，去掉了两个小女儿同为2岁的可能性，结果因此就出来了，女儿的岁数分别是1、6、6。在儿子的猜数中，出现了2个相同的和13，导致了判断困难。由于只有一个儿子的头发是红的，排除了两个儿子同为2岁的可能性，因此结果也是三个儿子分别为1、6、6岁，当天日期为本月的13日。
和数 |
女儿1 |
女儿2 |
女儿3 |
乘积 |
13 |
1 |
1 |
11 |
11 |
13 |
1 |
2 |
10 |
20 |
13 |
1 |
3 |
9 |
27 |
13 |
1 |
4 |
8 |
32 |
13 |
1 |
5 |
7 |
35 |
13 |
1 |
6 |
6 |
36 |
13 |
2 |
2 |
9 |
36 |
13 |
2 |
3 |
8 |
48 |
13 |
2 |
4 |
7 |
56 |
13 |
2 |
5 |
6 |
60 |
13 |
3 |
3 |
7 |
63 |
13 |
3 |
4 |
6 |
72 |
13 |
3 |
5 |
5 |
75 |
乘积 |
儿子1 |
儿子2 |
儿子3 |
和数 |
36 |
1 |
1 |
36 |
38 |
36 |
1 |
2 |
18 |
21 |
36 |
1 |
3 |
12 |
16 |
36 |
1 |
4 |
9 |
14 |
36 |
1 |
6 |
6 |
13 |
36 |
2 |
2 |
9 |
13 |
36 |
2 |
3 |
6 |
11 |
36 |
3 |
3 |
4 |
10
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8、从不知道到知道
有两个非常好的逻辑学家朋友P和S。他们在猜两个整数x、y.。已知1
P说：我不知道这两个数。
S说：我知道你不知道。
P说：我知道了这两个数。
S说：我也知道了。
根据两人的对话，你能判断x与y到底是多少吗？
这是一道更加经典同时难度更大的趣味数学题，是精品中的精品。我们就来慢慢分析整个思维过程吧。
首先，两个乘数因子不能是两个不同素数的乘积，不然P就一定能知道两个数是多少。
我们先列出100以内所有的素数，2,3,5,7,11,13, 17,19,23,29,31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97。
我们可以用一个数表列出所有两个素数的和，凡是在表中出现的和都不该是两人要猜测的数的和。
于是，我们100以内还剩下的和有11、17、23、27、29、35、37、41、47、51、53、57、59、61、65、67、77、79、83、87、89、93、95、97。
34×17可以直接导出两数之和51、38×19 可以直接导出两数之和57，29×58可以直接导出两数之和87，31×62可以直接导出两数之和93，因此51、57、87、93可以排除。
由于53×6=106×2会导致两数之和超过100，因此数59、61、65、67、77、79、83、89、95、97也被排除在外。
剩下的和数的数列就是11、17、23、27、29、35、37、41、47、53。
我们继续进行。
此数是11吗？
因为24=3×8、28=4×7，S知道和为11，却无法断定出P。
此数是23吗？
76=4×19,112=16×7, S知道和为23，却无法断定出P。
同样，可以排除29、35、37、41、47、51和53这些数字和。
现在轮到17了。
S=17=2+15，P=2×15=5×6，导出S=11，11在可能的和数之列，被排除。
S=17=6+11，P=6×11=2×33，导出S=35，35在可能的和数之列，被排除。
S=17=7+10，P=7×10=2×35，导出S=37，37在可能的和数之列，被排除。
S=17=8+9，P=8×9=3×24，导出S=27，27在可能的和数之列，被排除。
现在只剩下S=17=4+13，P=4×13=52=2×26，导出S=28，不在上述的和数之列。
答案露出水面，这两个数是4和13。
简单的描述后面，是严谨的逻辑和繁琐筛选过程。出题者一定是真正的数学大师。然而，这道题到底源自何人，我不得而知。
第二页：练习题及精讲9-15题
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发表于 2016-8-17 09:10:24