数论问题之完全平方数：练习题含精析

小学教育网

　　1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
        　　解：设此自然数为x，依题意可得
        　　x-45=m^2................(1)
        　　x+44=n^2................(2)(m,n为自然数)
        　　(2)-(1)可得　n^2-m^2=89, (n+m)(n-m)=89
        　　但89为质数，它的正因子只能是1与89，于是。解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。
        　　2、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方。
        　　分析：设四个连续的整数为n,(n+1),(n+2),(n+3)，其中n为整数。欲证
        　　n(n+1)(n+2)(n+3)+1是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
        　　证明：设这四个整数之积加上1为m，则
        　　m=n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2=[n(n+1)+(2n+1)]^2
        　　而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
        　　3、证明，（5n+1）不是平方数（n为自然数）。
        　　证明：现在，假设n为奇数：不管n为哪个奇数，5n的末位数一定是5。这样，式子变成了3×（5+1），等于18，末位是8。可是根据这一条完全平方数的性质，就能判别正误了。
        　　请看这边：完全平方数的末位数字只能是0、1、4、5、6、9这6个数中的某一个。显然不对。看看偶数会怎么样。
        　　如果n为偶数，这样5n末位一定为0。式子现在又变成了：3×（0+1），等于3。还是看上面完全平方数的定律，答案也是错。现在已经证明出来了。
        　　这一道题告诉我，当我遇到像这种证明题，看看用分类证明的方法是不是最好。其实，这题目也不是很难，关键在于我们是否能从数的末位去巧做完全平方数的题！