数论之完全平方数练习4

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　　1、矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。
　　2、求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。
　　3、求自然数n，使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。
　　4、(1986年第27届IMO试题)
　　5、设正整数d不等于2,5,13，求证在集合{2,5,13,d}中可以找到两个不同的元素a , b，使得ab -1不是完全平方数。
　　6、求k的最大值
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部分习题答案：
　　1、矩形四边的长度都是小于10的整数(单位：公分)，这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积(1986年缙云杯初二数学竞赛题)。
　　解：设矩形的边长为x,y，则四位数
　　∵N是完全平方数，11为质数 ∴x+y能被11整除。
　　又 ,得x+y=11。
　　∴∴9x+1是一个完全平方数，而，验算知x=7满足条件。又由x+y=11得。
　　2、求一个四位数，使它等于它的四个数字和的四次方，并证明此数是唯一的。
　　解：设符合题意的四位数为，则，∴为五位数，为三位数，∴。经计算得，其中符合题意的只有2401一个。
　　3、求自然数n，使的值是由数字0,2,3,4,4,7,8,8,9组成。
　　解：显然，。为了便于估计，我们把的变化范围放大到，於是，即。∵，∴。
　　另一方面，因已知九个数码之和是3的倍数，故及n都是3的倍数。这样，n只有24,27,30三种可能。但30结尾有六个0，故30不合要求。经计算得
　　故所求的自然数n = 27。