让“数”与“形”和谐交融

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　　让“数”与“形”和谐交融
       
        　　－―小学教师在“数与代数”领域中运用“数形结合”情况调查报告
       
        　　内容摘要：数形结合思想----就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。笔者对小学教师在“数与代数”领域中运用“数形结合”的现状展开调查，旨在通过调查，了解教师运用数形结合思想方法的意识、范围、方式的现状，提出在小学数学“数与代数”领域教学中渗透、运用数形结合思想方法的具体建议，从而提高教师运用数形结合思想方法进行教学的能力。
       
        　　关键词：数形结合  数与代数  调查
       
        　　一、问题的提出
       
        　　笔者2006年10－12月在杭州听了两节 “数与代数”领域的课，唐彩斌老师的《正归一应用题》和任敏龙老师的《乘法分配律》，这两节课最大的特色就是利用“数形结合”的思想来设计，新颖又创新，引起笔者对“数形结合思想方法”在“数与代数”领域应用的思考。
       
        　　数形结合是数学中重要思想方法之一。它既具有数学学科的鲜明特点，又是数学研究的常用方法。数形结合思想----就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合。“数形结合思想方法”的重要性是不言而喻。在现阶段，小学数学教师对“数形结合思想方法”在小学数学“数与代数”领域教学中运用的情况如何？现状产生的原因的是什么？教师应该如何进行有效的渗透数形结合思想方法？本文将对教师在“数与代数”领域中运用“数形结合思想方法” 的现状展开调查，并由此引发一些思考。
       
        　　二、调查对象、内容和方法
       
        　　1、调查对象
       
        　　本次调查随机抽样了瓯海区三所学校（实验小学、镇中心学校、村小）三、四、五年级学生总共180名，这三所小学数学教师共32名。
       
        　　2、调查内容
       
        　　本调查内容分为三大块：运用数形结合思想方法的意识，运用数形结合思想方法的范围，运用数形结合思想方法的方式。
       
        　　3、调查方法：问卷调查和个别访谈相结合
       
        　　4、调查过程
       
        　　2007年3月5－6日，在学生不知情的情况下，随机抽取三所学校三、四、五年级共180名学生进行调查。共发放问卷180份，回收有效问卷180份（占100％）。对三所学校教师的调查和学生的调查同步进
       
        　　行，共发放问卷32份，回收32份（占100％），并对32位老师进行个别访谈。
       
        　　三、调查结果与分析
       
        　　对回收问卷的逐项统计，发现当前小学数学教师对“数形结合思想方法”在“数与代数”领域教学中的运用存在着以下几个较为普遍的现象：
       
        　　（一）主动运用意识淡薄
       
        　　无论是教师访谈，还是调查都表明：教师已经意识到数形思想方法的作用，但主动运用意识比较淡薄。调查中我们发现：
       
        　　1、意识到数形结合思想方法运用的重要性。
       
        　　调查显示100％的老师认为在小学数学“数与代数”领域教学中有必要渗透数形结合思想，100%的老师认为在教学中有结合数形结合思想来进行教学（见表一），而且对教师的访谈中了解到，大部分老师都反映数形结合有助于学生把数这个抽象的概念与较为直观的形紧密地联系起来，产生思维的火花，从而达到简化问题，解决问题的目的。由此可见，大部分的教师在调查中有意识到数形结合思想方法在教学中的重要性。
       
        　　2、主动运用数形结合思想方法的意识淡薄。
       
        　　在现实世界中，数与形是不可分离地结合在一起的，这是直观与抽象相结合，感知与思维相结合的体现。数与形相结合不仅是数学自身发展的需要，也是加深对数学知识的理解、发展智力、培养能力的需要。但从访谈中也了解到大部分老师表示对数形结合思想不是很了解，访谈中了解到大部分老师表示没有想过运用数形结合的思想来进行教学，调查中仅3.1％的老师重视了数形结合思想渗透和运用（见表一）。由此可见，老师们在平时的教学中数形结合思想进行教学是以无意识为主，缺乏主动运用数形结合思想进行教学的意识。
       
        　　表一：教师调查统计表
       
        　　题目 选项 人数 百分率（％）
       
        　　您觉得在小学数学“数与代数”领域教学中有必要渗透数形结合思想吗？ A有必要 32 100
       
        　　B 一般 0 0
       
        　　C 没有必要 0 0
       
        　　您在“数与代数”领域教学中有渗透数形结合思想吗？ A 经常有 5 15.6
       
        　　B 偶尔 27 84.4
       
        　　C 没有 0 0
       
        　　您在“数与代数”领域教学中重视数形结合思想的渗透吗？ A非常重视 1 3.1
       
        　　B 一般 14 43.8
       
        　　C 不重视 17 53.1
       
        　　（二）运用范围狭窄
       
        　　教师在“数与代数”领域教学中对“数形结合思想方法”运用范围比较狭窄，已成为一个非常突显的问题。调查的32位教师中（见图二），选择只有在某一个方面运用数形结合思想方法的有17位教师，占了总人数的53.1％，选择两个方面来运用教师占了28.1％，选择在三个方面来运用教师占了12.5％，选择在三个方面以上来运用教师仅占了6.3％。从访谈中还了解到大部分老师只有局限于在解决问题方面来运用比较多，可以看出教师在教学过程中数形结合思想方法的运用范围比较狭窄。
       
        　　图二：形结合思想方法在“数与代数”领域教学中运用情况统计图
       
        　　（三）体现方式单一
       
        　　调查中发现在“数与代数”领域中体现数形结合思想的形式中，选择只选择一种形式运用数形结合思想方法的教师占了总人数的46.9％，选择两种形式来运用的教师占了37.5％，选择在三种形式来运用的教师占了9.4％，选择在三种形式以上来运用的教师仅占了6.3％（见图三）。可以看出教师在教学过程中数形结合思想方法的体现方式比较单一，而且在只选择一种形式的15位教师中有12位是采用画线段图的方式。由此可见，教师对数形结合思想的认识比较局限，导致了选择形式单一的局面。
       
        　　图三：数形结合思想方法体现形式种类统计图
       
        　　由于教师的主动运用数形结合思想方法的意识淡薄，在“数与代数”领域运用范围比较狭窄，体现方式比较单一，那学生的问题自然显现出来：表四显示在平时的数学学习过程中只有6．7％的学生会经常会借助图形来理解问题，有43．9％的学生从来没有借助图形来理解问题。在调查的180人中只有37人在解决问题有困难的时候才会选择画图来帮助自己理解题目，仅占了20.6％，从两组数据反映出学生主动运用的意识也比较淡薄。调查中还了解到在解决问题过程中180 位学生只有42位学生运用数形结合思想方法来帮助自己理解，占了总人数的23.3％。
       
        　　表四：学生调查统计表
       
        　　题目 选项 人数  百分率（％）
       
        　　你觉得图文结合对于理解问题有帮助吗？ A有 124 68.9
       
        　　B 没有 12 6.7
       
        　　C 无所谓 44 24.4
       
        　　当你在解决问题的过程中遇到困难的时候，你会借助什么？ A请教老师或同学 116 64.4
       
        　　B 画图分析 37 20.6
       
        　　C其他  27 15
       
        　　你会借助图形来分析题目吗？ A经常 12 6.7
       
        　　B偶尔 89 49.4
       
        　　C 没有 79 43.9
       
        　　在一个空量杯中倒入600克水，占到这个杯子的。如果把这个杯子倒满，还要倒入多少克水？ 有借助数形结合 42 23.3
       
        　　没有借助数形结合 138 76.7
       
        　　四、思考与建议
       
        　　根据以上的调查和分析结果，教师要加强学生主动运用数形结合思想方法的意识，丰富数形结合思想方法的方式和内容，促进学生运用数形结合思想方法的能力的提高。具体可以采取以下措施。
       
        　　强化意识  体会作用
       
        　　我国著名数学家华罗庚所说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”数形结合思想方法能巧妙地实现数与形之间的互换，使得看似无法解决的问题简单化、明朗化，让人有“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的感觉。数形结合思想方法在解题中的重要性决定了它在平时的教学中也应该受到重视。在数学教学中教师要有意识地沟通数、形之间的联系，帮助学生逐步树立起数形相结合的观点，提高主动运用的意识，并使这一观点扎根到学生的认知结构中去，成为运用自如的思想观念和思维工具，从而提高学生数学修养与解题能力。
       
        　　例如，在教学“小明家鸡有5只，鸭有7只，鸭比鸡多几只？”这一个问题的时候，笔者就有意识的问学生，“如果用画图的方法来表示，你有困难吗？你有什么办法解决？”学生合作讨论，想到了用~、△等示意图来代替鸡、鸭实物图，从图中一眼看出鸭比鸡多，多2只。然后教师在“5”、“7”后面添上0，变成 “50”、“70”，学生感受到示意图直观形象，不仅能看出谁比谁多，还能看出多多少？但当数据较大时也有局限性，从而想到了类似下面的图 。
       
        　　⑩  ⑩  ⑩   ⑩  ⑩
       
        　　△ △ △ △ △ △ △
       
        　　还有人想到了线段图，整理成：
       
        　　50只
       
        　　鸡：└───────────────┘
       
        　　70只
       
        　　鸭：└────────────────────┘
       
        　　在这样的探究过程中，教师把“数学结合思想方法”有意识的渗透在学生获得知识和解决问题的过程中，充分利用直观图形，把抽象内容的数量关系视觉化、具体化、形象化，化深奥为浅显，让学生在观察、实验、分析、抽象、概括的过程中，看到知识背后负载的方法、蕴涵的思想，那么，学生所掌握的知识才是鲜活的，可迁移的，学生的数学素质才能得到质的飞跃。
       
        　　（二）扩大范围  广泛应用
       
        　　以数与形相结合的原则进行教学，这就要求我们切实掌握数形结合的思想方法，以数形相结合的观点钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数形结合思想方法渗透的各种因素,都要考虑如何结合具体内容进行数形结合思想方法渗透。“数形结合思想方法”包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，在小学数学“数与代数”领域教学中，用得最多的是前者，我们可以把数学结合思想方法渗透在“数与代数”领域中的每一内容。
       
        　　1、数的认识方面，对“数与代数”领域的“数的认识”中利用数形结合思想方法教学，例如在教学《1000以内数的认识》这节课教学中利用小立方体有效的帮助学生构建知识，以及初步感知十进制的计数方法。数数的难点就是接近整百的数，学生无法感受抽象的数数之间满10的变化，那么我们就将数数的抽象思考方式放大，将思维暴露出来，让学生通过观察小方块的变化，一对一的数数，在数到9变成10时，通过演示让学生理解10的由来同时强化十进制关系。同时通过 “形”来感知数的多少，既形象又深刻，培养了学生良好的数感。
       
        　　2、数的运算方面，借助“形”来帮助学生理解非常重要，除了我们常用的可以利用小棒等实物或图形来理解算理外，我们还可以丰富其内容，比如：“20以内加法”的教学中可以渗透数形结合思想，画一个坐标轴，横5，竖8，加起来13，对形数结合的思想进行早期渗透和培养。
       
        　　再比如在问题解决方面，借助数形结合能化抽象为形象，帮助学生建立直观模型，让数量关系更形象、更清晰。例如笔者在教学“一个数是另一个数的几倍？”问题时，设计以下三个片断：
       
        　　（1）
       
        　　摆1架飞机用了（  ）根小棒，10根可以摆（  ）架飞机，也就是10是5的（ ）倍。
       
        　　（2）
       
        　　（3）
       
        　　以上三个环节充分利用直观的“形”逐步渗透抽象的“1倍量”，帮助学生建立数量关系，用小棒摆“飞机”，学生通过用小棒摆“飞机”的操作中初步感知“1 倍量”形成的过程，既直观又形象，仅接着出示30根小棒摆成6架飞机，进一步感受“1倍量”的重要性；小朋友与小狗比身高图，借助南瓜，3个南瓜的高度跟小狗高度一样，用具体形象的情境再次体验抽象的“1倍量”；第三个环节再抽象到线段图。整个过程数形结合，在直观图示的导引下，将“求一个数是另一个数的几倍” 转化为“求一个数里面有几个几”的问题，使问题化难为易，化抽象为具体。
       
        　　3、常见的量方面，例如在教学《24时记时法》的教学中可以利用钟表上的刻度，1个大格代表1小时，24小时就是钟面上的时针走了2圈，同时形象的理解了0时和24时在同一点上，让具体的“形”与抽象的数相辅相成。
       
        　　4、式与方程方面，例如，在认识方程的教学过程中，可以利用天平称中的等量帮助学生理解方程中的等量关系。
       
        　　5、正比例、反比例方面，可以利用有坐标系的方格纸上画图的方式，让数形结合根据给出的有正比例关系的数据的其中的一个量的值来估计另一个量的值。
       
        　　6、探索规律方面，例如，认识找竖列1，3，6，10……的规律时，可以利用图形：    ……。数形结合让事物中隐含的规律形象化，直观化，帮助学生寻找和发现规律，并在脑中留下深刻的印记。
       
        　　以上例子仅是代表而已，只要我们留意，数形结合思想方法存在“数与代数”领域的每一个角落。
       
        　　（三）丰富方式  形式多样
       
        　　数形结合的思想方法是数学学科里最常用的一种方法，它包含了转化、配方、分类讨论、方程思想等数学思想方法，可见数形结合思想方法是数学中极具综合性的思想方法。在平常的教学活动中让学生学到数形结合的方法。教师可以采用多种方式精心组织学生训练，让学生置身于具体的教学过程，才能在教师的引导下逐步领悟，理解和掌握。可以采用以下方式：
       
        　　1、运用或联想实物。
       
        　　2、画图。画图的形式很多，包括画线段图、画图形、画示意图、画面积图、画点子图、集合图等等。
       
        　　3、利用数轴。数轴是体现数形结合思想的一个重要方法。利用数轴，找到实数与数轴上的点的对应关系，让数与数轴这个“形”，紧密融合在一起。例如，笔者在教学《小数大小比较》时，由于学生在学习本节课的内容之前只是初步的认识了小数，还没有深入的学习小数的意义，因此学生在总结比较的方法时用抽象的数学语言比较困难。当文字的表述有困难时，利用数轴能很好的解决这一问题。因为对于每一个小数，数轴上都有唯一确定的点于它对应，因此，两个小数的大小比较，是通过这两个小数在数轴上的对应点的位置关系进行的。借助数轴让学生理解小数的大小，知道在数轴上越往后这个数越大，越往前这个数就越小。这节课还设计了这样一道练习：
       
        　　0.3 > (      ) > (      ) > (       ) > (        ) >0.2
       
        　　在数轴上找出小于0.3大于0.2的小数以及能找出几个，这个练习借助数轴，让抽象的数学变得具体、形象。
       
        　　4、几何模型。例如，教学“1－－－…－＝”，对于小学生来说由于逻辑推理有一定的难度，一批中下学生不容易明白，笔者采用几何模型进行教学，学生都轻松的掌握了。将上面的算式构造成下面的几何模型图，把一个大正方形看成单位“1”(如左图)，一次又一次地进行平均分。从图上很容易看出1－－－…－＝。运用数形结合思想方法可以把代数与几何沟通了，使形直观地反映数内在的联系，拓宽思路，把复杂问题简单化，从而顺利且快速的解决问题，使数学知识变的更有生命力，让人回味无穷。我们提倡多少方式来渗透数形结合思想，要培养学生胸中有图见数想图，以开拓学生的思维视野。
       
        　　五、进一步讨论的问题
       
        　　1、“先数后形”与“先形后数”的呈现如何协调？
       
        　　在数形结合的教学过程中，应该慎重考虑“先数后形”还是“先形后数”。两者呈现的结果是不一样的，如何把握？还要继续研究。
       
        　　2、数形结合思想和抽象逻辑思维训练如何平衡？
       
        　　数形结合思想有助于学生思维更形象，数形结合思想的方法不是万能妙药，提高学生的抽象逻辑思维能力也是非常重要的，两者如何平衡？还有待于进一步研究。
       
        　　【参考书目】
       
        　　[1] 蒋巧君：《数形结合是促进学生意义建构的有效策略》.《小学数学教师》. 2006、4
       
        　　[2] 高红梅：《“数”与“形”教学设计》.《中小学数学》.2005、9
       
        　　[3] 姜荣富：《图形直观对学生解决数学问题影响的研究》.《小学青年教师》. 2006、11
       
        　　[4] 陈明荣：《小学数学思想方法渗透的实践与思考》.《数学月刊》2005年第9期
       
        　　附件1：
       
        　　关于数形结合思想在小学数学教学中的现状的问卷调查（教师）
       
        　　1、您觉得在小学数学“数与代数”领域中教学中有必要渗透数形结合思想吗？（       ）
       
        　　A   有      B  没有   C  无所谓
       
        　　2、您在小学数学“数与代数”领域教学中重视数形结合思想的运用吗？（       ）
       
        　　A  非常重视  B 一般    C 不重视    D 没有想过
       
        　　3、您在小学数学“数与代数”领域教学中有渗透数形结合思想吗？（       ）
       
        　　A   经常有      B  偶尔   C  没有
       
        　　4、“数与代数”领域教学中你在哪些方面会渗透数形结合思想？
       
        　　5、在“数与代数”领域教学中您以哪些形式体现数形结合思想？
       
        　　附件2：
       
        　　关于数形结合思想方法在小学数学教学中的现状的问卷调查（学生）
       
        　　1、你觉得图文结合对于理解题目有帮助吗？（       ）
       
        　　A 有        B 没有       C 无所谓
       
        　　2、你会借助图形来分析题目吗？（       ）
       
        　　A 经常      B  偶尔      C没有
       
        　　3、当你在解决问题的过程中遇到困难的时候，你会借助什么？（       ）
       
        　　A请教老师或同学     B画图分析    C 其他
       
        　　4、在一个空量杯中倒入600克水，占到这个杯子的。如果把这个杯子倒满，还要倒入多少克水？