分数的演绎与传奇

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　　在一种简化的飞镖靶盘上只有两个区域(见图)：
　　内圈11分，外圈4分。


　
　　比赛的人轮流投掷飞镖，并累积计算各人的总分，先达到预定分数的人赢。
　　当凯蒂和海伦在玩这个游戏时，她们发现不论怎么玩就是无法达到某些分数，如21分。于是她们坐下来，拿出纸和笔，研究到底有哪些分数是无法达到的。结果她们发现，只要超过某个分数之后，任何分数都可以达到。因此她们约定将来再玩时，所设定的目标分数一定要够大才行。
　　请找出无法达到的总分。
　　如果改变内圈与外圈的分数，对于目标分数的形式会有何影响？
　　如果内圈是m分，外圈是n分，你能找出计算无法达到的最大总分是多少的公式吗？
答案与分析：

　　在11分以内，只有4的倍数可能达到。11和12当然也可能。如果13是可能的，它必须等于先前可能达到的分数加4或加11，但是13-4=9，13-11＝2，9和2都是不可能的，因此13分也是不可能的。同理，14是不可能的，但15是可能的，因为15-4＝11。继续依同样的方式推算，可以证明29是不可能达到的，但之后的
　　30＝2× (11)＋2×④
　　31＝ ＋5×④
　　32＝ 8×④
　　33＝3×)
　　有4个连续可能达到的分数，因此之后的4个连续分数也必定是可能达到的，因为：
　　34＝30＋4 35＝31＋4 36＝32＋4
　　37＝33＋4
　　故以归纳法推论，任何大于29的分数都可以达到。
　　不可能达到的分数如下：
　　1，2，3，5，6，7，9，10，13，14，17，18，
　　21，22，25，29
　　一般来说，要是m与n除了1以外没有公因数，则不可能达到的最大分数是
mn-m-n
　　然而，如果m与n有一个公因数d，那么就只有d的倍数才可能达到，因此无法找到一个最大的不可达到的目标分数。证明上面的公式已超出本书的范围，但是以下述的方式分析题目中的例子，也可以使我们了解为什么这个结果可能是对的。
　　先只考虑4，所有4的倍数都是可达到的。接着要证明的就是加上11的倍数，并超过某一数目之后，任何分数都是可达到的。
　　由于
11＝2×4＋3
22＝5×4＋2
33＝8×4＋1
　　故11的前三个倍数与4的倍数分别相差3、2、1，因此可以把它们写成如下的形式：
4n＋3 4n＋2 4n＋1
　　所以33以上的所有分数都是可能达到的。略加思考之后，我们又知道不可能达到的最大分数应该比33少4，它的形式应该是
(4-1)×11-4
　　如以通式表示，则：
(n-1)m-n＝nm-m-n