例2 右图中,BD,DE,EC的长分别是2,4,2.F是线段AE的中点,三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.
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解: BC= 2+ 4+ 2= 8.
三角形 ABC面积= 8× 4÷2=16.
我们把A和D连成线段,组成三角形ADE,它与三角形ABC的高相同,而DE长是4,也是BC的一半,因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理,EF是AE的一半,三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.
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三角形 DFE面积= 16÷4=4.
例3 右图中长方形的长是20,宽是12,求它的内部阴影部分面积.
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解:ABEF也是一个长方形,它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.
而三个三角形底边的长加起来,就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是
FE×BE÷2,
它恰好是长方形ABEF面积的一半.
同样道理,FECD也是长方形,它内部三个三角形(阴影部分)面积之和是它的面积的一半.
因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半,也就是
20×12÷2=120.
通过方格纸,我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线,把每个三角形分成两个直角三角形后,图中每个直角三角形都是某个长方形的一半,而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形(阴影部分)的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.
例4 右图中,有四条线段的长度已经知道,还有两个角是直角,那么四边形ABCD(阴影部分)的面积是多少?
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解:把A和C连成线段,四边形ABCD就分成了两个,三角形ABC和三角形ADC.
对三角形ABC来说,AB是底边,高是10,因此
面积=4×10÷2= 20.
对三角形 ADC来说, DC是底边,高是 8,因此
面积=7×8÷2=28.
四边形 ABCD面积= 20+ 28= 48.
这一例题再一次告诉我们,钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.
例5 在边长为6的正方形内有一个三角形BEF,线段AE=3,DF=2,求三角形BEF的面积.
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解:要直接求出三角形BEF的面积是困难的,但容易求出下面列的三个直角三角形的面积
三角形 ABE面积=3×6×2= 9.
三角形 BCF面积= 6×(6-2)÷2= 12.
三角形 DEF面积=2×(6-3)÷2= 3.
我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出:
三角形 BEF面积=6×6-9-12-3=12.
例6 在右图中,ABCD是长方形,三条线段的长度如图所示,M是线段DE的中点,求四边形ABMD(阴影部分)的面积.
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解:四边形ABMD中,已知的太少,直接求它面积是不可能的,我们设法求出三角形DCE与三角形MBE的面积,然后用长方形ABCD的面积减去它们,由此就可以求得四边形ABMD的面积.
把M与C用线段连起来,将三角形DCE分成两个三角形.三角形 DCE的面积是 7×2÷2=7.
因为M是线段DE的中点,三角形DMC与三角形MCE面积相等,所以三角形MCE面积是 7÷2=3.5.
因为 BE= 8是 CE= 2的 4倍,三角形 MBE与三角形MCE高一样,因此三角形MBE面积是
3.5×4=14.
长方形 ABCD面积=7×(8+2)=70.
四边形 ABMD面积=70-7- 14= 49.
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