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[抽屉原理] 杂题:抽屉问题经典练习题及答案系列之四

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论坛元老

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发表于 2016-8-15 12:26:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
  1. 任意5个自然数中,必可找出3个数,使这三个数的和能被3整除。
          分析:解这个问题,注意到一个数被3除的余数只有0,1,2三个,可以用余数来构造抽屉。
          解:以一个数被3除的余数0、1、2构造抽屉,共有3个抽屉。任意五个数放入这三个抽屉中,若每个抽屉内均有数,则各抽屉取一个数,这三个数的和是3的倍数,结论成立;若至少有一个抽屉内没有数,那么5个数中必有三个数在同一抽屉内,这三个数的和是3的倍数,结论亦成立。
          2. 在边长为1的正方形内,任意放入9个点,证明在以这些点为顶点的三角形中,必有一个三角形的面积不超过1/8.
          解:分别连结正方形两组对边的中点,将正方形分为四个全等的小正方形,则各个小正方形的面积均为1/4 。把这四个小正方形看作4个抽屉,将9个点随意放入4个抽屉中,据抽屉原理,至少有一个小正方形中有3个点。显然,以这三个点为顶点的三角形的面积不超过1/8 。
          反思:将边长为1的正方形分成4个面积均为1/4 的小正方形,从而构造出4个抽屉,是解决本题的关键。我们知道。将正方形分成面积均为1/4 的图形的方法不只一种,如可连结两条对角线将正方形分成4个全等的直角三角形,这4个图形的面积也都是1/4 ,但这样构造抽屉不能证到结论。可见,如何构造抽屉是利用抽屉原理解决问题的关键。
          3. 班上有50名学生,将书分给大家,至少要拿多少本,才能保证至少有一个学生能得到两本或两本以上的书。
          解:把50名学生看作50个抽屉,把书看成苹果 ,根据原理1,书的数目要比学生的人数多,即书至少需要50+1=51本.
          4. 在一条长100米的小路一旁植树101棵,不管怎样种,总有两棵树的距离不超过1米。
          解:把这条小路分成每段1米长,共100段,每段看作是一个抽屉,共100个抽屉,把101棵树看作是101个苹果 ,于是101个苹果放入100个抽屉中,至少有一个抽屉中有两个苹果 ,即至少有一段有两棵或两棵以上的树 .
          你也来试试?
          1.饲养员给10只猴子分苹果,其中至少要有一只猴子得到7个苹果,饲养员至少要拿来多少个苹果?
          2.从13个自然数中,一定可以找到两个数,它们的差是12的倍数。
          3.一个班有40名同学,现在有课外书125本。把这些书分给同学,是否有人会得到4件或4件以上的玩具?
          4.42只鸽子飞进5个笼子里,可以保证至少有一个笼子中可以有几只鸽子?
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