应用题：鸡兔同笼问题例题透析

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鸡兔同笼问题例题透析1
        　1、有若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？
        　　解：我们设想，每只鸡都是“金鸡独立”，一只脚站着；而每只兔子都用两条后腿，像人一样用两只脚站着.现在，地面上出现脚的总数的一半，·也就是
        　　244÷2=122（只）.
        　　在122这个数里，鸡的头数算了一次，兔子的头数相当于算了两次.因此从122减去总头数88，剩下的就是兔子头数
        　　122-88=34，
        　　有34只兔子.当然鸡就有54只.
        　　答：有兔子34只，鸡54只.
        　　上面的计算，可以归结为下面算式：
        　　总脚数÷2-总头数=兔子数.
        　　上面的解法是《孙子算经》中记载的.做一次除法和一次减法，马上能求出兔子数，多简单！能够这样算，主要利用了兔和鸡的脚数分别是4和2，4又是2的2倍.可是，当其他问题转化成这类问题时，“脚数”就不一定是4和2，上面的计算方法就行不通.因此，我们对这类问题给出一种一般解法.
        　　还说此题.
        　　如果设想88只都是兔子，那么就有4×88只脚，比244只脚多了
        　　88×4-244=108（只）.
        　　每只鸡比兔子少（4-2）只脚，所以共有鸡
        　　（88×4-244）÷（4-2）= 54（只）.
        　　说明我们设想的88只“兔子”中，有54只不是兔子.而是鸡.因此可以列出公式
        　　鸡数=（兔脚数×总头数-总脚数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
        　　当然，我们也可以设想88只都是“鸡”，那么共有脚2×88=176（只），比244只脚少了
        　　244-176=68（只）.
        　　每只鸡比每只兔子少（4-2）只脚，
        　　68÷2=34（只）.
        　　说明设想中的“鸡”，有34只是兔子，也可以列出公式
        　　兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）.
        　　上面两个公式不必都用，用其中一个算出兔数或鸡数，再用总头数去减，就知道另一个数.
        　　假设全是鸡，或者全是兔，通常用这样的思路求解，有人称为“假设法”.
        　　现在，拿一个具体问题来试试上面的公式.
        第二页：鸡兔同笼问题例题透析2
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jzfive

        鸡兔同笼问题例题透析2
        　　红铅笔每支0.19元，蓝铅笔每支0.11元，两种铅笔共买了16支，花了2.80元.问红、蓝铅笔各买几支？
        　　解：以“分”作为钱的单位.我们设想，一种“鸡”有11只脚，一种“兔子”有19只脚，它们共有16个头，280只脚.
        　　现在已经把买铅笔问题，转化成“鸡兔同笼”问题了.利用上面算兔数公式，就有
        　　蓝笔数=（19×16-280）÷（19-11）
        　　=24÷8
        　　=3（支）.
        　　红笔数=16-3=13（支）.
        　　答：买了13支红铅笔和3支蓝铅笔.
        　　对于这类问题的计算，常常可以利用已知脚数的特殊性.例2中的“脚数”19与11之和是30.我们也可以设想16只中，8只是“兔子”，8只是“鸡”，根据这一设想，脚数是
        　　8×（11+19）=240.
        　　比280少40.
        　　40÷（19-11）=5.
        　　就知道设想中的8只“鸡”应少5只，也就是“鸡”（蓝铅笔）数是3.
        　　30×8比19×16或11×16要容易计算些.利用已知数的特殊性，靠心算来完成计算.
        　　实际上，可以任意设想一个方便的兔数或鸡数.例如，设想16只中，“兔数”为10，“鸡数”为6，就有脚数
        　　19×10+11×6=256.
        　　比280少24.
        　　24÷（19-11）=3，
        　　就知道设想6只“鸡”，要少3只.
        　　要使设想的数，能给计算带来方便，常常取决于你的心算本领.
         

jzthree

        鸡兔同笼问题例题透析3
        　　一份稿件，甲单独打字需6小时完成.乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时.甲打字用了多少小时？
        　　解：我们把这份稿件平均分成30份（30是6和10的最小公倍数），甲每小时打30÷6=5（份），乙每小时打30÷10=3（份）.
        　　现在把甲打字的时间看成“兔”头数，乙打字的时间看成“鸡”头数，总头数是7.“兔”的脚数是5，“鸡”的脚数是3，总脚数是30，就把问题转化成“鸡兔同笼”问题了.
        　　根据前面的公式
        　　“兔”数=（30-3×7）÷（5-3）
        　　=4.5，
        　　“鸡”数=7-4.5
        　　=2.5，
        　　也就是甲打字用了4.5小时，乙打字用了2.5小时.
        　　答：甲打字用了4小时30分.
         

jzthree

        鸡兔同笼问题例题透析4
        　今年是1998年，父母年龄（整数）和是78岁，兄弟的年龄和是17岁.四年后（2002年）父的年龄是弟的年龄的4倍，母的年龄是兄的年龄的3倍.那么当父的年龄是兄的年龄的3倍时，是公元哪一年？
        　　解：4年后，两人年龄和都要加8.此时兄弟年龄之和是17+8=25，父母年龄之和是78+8=86.我们可以把兄的年龄看作“鸡”头数，弟的年龄看作“兔”头数.25是“总头数”.86是“总脚数”.根据公式，兄的年龄是
        　　（25×4-86）÷（4-3）=14（岁）.
        　　1998年，兄年龄是
        　　14-4=10（岁）.
        　　父年龄是
        　　（25-14）×4-4=40（岁）.
        　　因此，当父的年龄是兄的年龄的3倍时，兄的年龄是
        　　（40-10）÷（3-1）=15（岁）.
        　　这是2003年.
        　　答：公元2003年时，父年龄是兄年龄的3倍.
        　　蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀.现在这三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀.每种小虫各几只？
        　　解：因为蜻蜓和蝉都有6条腿，所以从腿的数目来考虑，可以把小虫分成“8条腿”与“6条腿”两种.利用公式就可以算出8条腿的
        　　蜘蛛数=（118-6×18）÷（8-6）
        　　=5（只）.
        　　因此就知道6条腿的小虫共
        　　18-5=13（只）.
        　　也就是蜻蜓和蝉共有13只，它们共有20对翅膀.再利用一次公式
        　　蝉数=（13×2-20）÷（2-1）=6（只）.
        　　因此蜻蜓数是13-6=7（只）.
        　　答：有5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蝉.
        　　某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人？
        　　解：对2道、3道、4道题的人共有
        　　52-7-6=39（人）.
        　　他们共做对
        　　181-1×7-5×6=144（道）.
        　　由于对2道和3道题的人数一样多，我们就可以把他们看作是对2.5道题的人（（2+3）÷2=2.5）.这样
        　　兔脚数=4，鸡脚数=2.5，
        　　总脚数=144，总头数=39.
        　　对4道题的有
        　　（144-2.5×39）÷（4-1.5）=31（人）.
        　　答：做对4道题的有31人.