数论问题之余数问题:余数问题练习题含答案

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　　1.数11…1(2007个1),被13除余多少
        　　分析:根据整除性质知:13能整除111111,而2007÷6后余3,所以答案为7.
        　　2.求下列各式的余数:
        　　(1)2461×135×6047÷11 (2)2123÷6
        　　分析:(1)5;(2)6443÷19=339……2,212=4096 ,4096÷19余11 ,所以余数是11 .
        　　3.1013除以一个两位数,余数是12.求出符合条件的所有的两位数.
        　　分析:1013-12=1001,1001=7×11×13,那么符合条件的所有的两位数有13,77,91 有的同学可能会粗心的认为11也是.11小于12,所以不行.大家做题时要仔细认真.
        　　4.学校新买来118个乒乓球,67个乒乓球拍和33个乒乓球网,如果将这三种物品平分给每个班级,那么这三种物品剩下的数量相同.请问学校共有多少个班
        　　分析:所求班级数是除以118,67,33余数相同的数.那么可知该数应该为118-67=51和67-33=34的公约数,所求答案为17.
        　　5.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.
        　　分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.
        　　101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.
        　　6.求下列各式的余数:
        　　(1)2461×135×6047÷11
        　　(2)2123÷6
        　　分析:(1)5;(2)找规律,2的n次方被6除的余数依次是(n=1,2,3,4……):2 ,4 ,2 ,4 ,2 ,4……
        　　因为要求的是2的123次方是奇数,所以被6除的余数是2.
        　　7.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果
        　　分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .
        　　8.(第十三届迎春杯决赛) 已知一个两位数除1477,余数是49.那么,满足那样条件的所有两位数是 .
        　　分析:1477-49=1428是这两位数的倍数,又1428=2×2×3×7×17=51×28=68×21=84×17,因此所求的两位数51或68或84.
        　　9.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.
        　　分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.
        　　101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.
        　　10.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.
        　　分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.
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jzfive

        　　11.除以99,余数是______.
        　　分析:所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.
        　　12.求下列各式的余数:
        　　(1)2461×135×6047÷11
        　　(2)19992000÷7
        　　分析:(1)5;(2)1999÷7的余数是4,19992000 与42000除以7 的余数相同.然后再找规律,发现4 的各次方除以7的余数的排列规律是4,2,1,4,2,1......这么3个一循环,所以由2000÷3 余2 可以得到42000除以7 的余数是2,故19992000÷7的余数是2 .
        　　13.(小学数学奥林匹克初赛)有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果
        　　分析:此题是一道求除数的问题.原题就是说,已知一个数除240余2,除313余7,求这个数最大为多少,我们可以根据带余除法的性质把它转化成整除的情况,从而使问题简化,因为240被这个数除余2,意味着240-2=238恰被这个数整除,而313被这个数除余7,意味着这313—7=306恰为这个数的倍数,我们只需求238和306的最大公约数便可求出小朋友最多有多少个了.240—2=238(个) ,313—7=306(个) ,(238,306)=34(人) .
        　　14.有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.
        　　分析:这个题没有告诉我们,这三个数除以这个数的余数分别是多少,但是由于所得的余数相同,根据性质2,我们可以得到:这个数一定能整除这三个数中的任意两数的差,也就是说它是任意两数差的公约数.
        　　101-45=56,101-59=42,59-45=14,(56,42,14)=14,14的约数有1,2,7,14,所以这个数可能为2,7,14.
        　　15.已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a和b的值.
        　　分析:127-3=124,99-3=96,则b是124和96的公约数.而(124,96)=4,所以b=4.那么a的可能取值是11,15,19,23,27.
        　　16.除以99的余数是______.
        　　分析:所求余数与19×100,即与1900除以99所得的余数相同,因此所求余数是19.
        　　17.19941994…1994(1994个1994)除以15的余数是______.
        　　分析:法1:从简单情况入手找规律,发现1994÷15余14,19941994÷15余4,199419941994÷15余9,
        　　1994199419941994÷15余14,......,发现余数3个一循环,1994÷3=664...2,19941994…1994(1994个1994)除以15的余数是4;法2:我们利用最后一个例题的结论可以发现199419941994能被3整除,那么19941994199400…0能被15整除,1994÷3=664...2,19941994…1994(1994个1994)除以15的余数是4.
        　　18.a>b>c 是自然数,分别除以11的余数是2,7,9.那么(a+b+c)×(a-b)×(b-c)除以11的余数是多少
        　　分析:(a+b+c)÷11的余数是7;(a—b)÷11的余数是1l+2—7=6;(b—c)÷11的余数是11+7—9=9.所求余数与7 6×9÷11的余数相同,是4.
        　　19.盒乒乓球,每次8个8个地数,10个10个地数,12个12个地数,最后总是剩下3个.这盒乒乓球至少有多少个？
        　　分析与解答:
        　　如果这盒乒乓球少3个的话,8个8个地数,10个10个地数,12个12个的数都正好无剩余,也就是这盒乒乓球减少3个后是8,10,12的公倍数,又要求至少有多少个乒乓球,可以先求出8,10,12的最小公倍数,然后再加上3.
        　　2 8 10 12
        　　2 4 5 6
        　　2 5 3
        　　故8,10,12的最小公倍数是22253=120.所以这盒乒乓球有123个.
        　　20.自然数,用它分别去除63,90,130都有余数,三个余数的和是25.这三个余数中最小的一个是_____.
        　　分析与解答:
        　　设这个自然数为,且去除63,90,130所得的余数分别为a,b,c,则63-a,90-b,130-c都是的倍数.于是(63-a)+(90-b)+(130-c)=283-(a+b+c)=283-25=258也是的倍数.又因为258=2343.
        　　则可能是2或3或6或43(显然,86,129,258),但是a+b+c=25,故a,b,c中至少有一个要大于8(否则,a,b,c都不大于8,就推出a+b+c不大于24,这与a+b+c=25矛盾).根据除数必须大于余数,可以确定=43.从而a=20,b=4,c=1.显然,1是三个余数中最小的.
         

jztwo

        　　21.求123456789101112……199200除以9的余数是________;
        　　解答:
        　　一位数个位数字之和是1+2+3+…..9=45
        　　二位数数字之和是
        　　1×10+1+2+3+…….9 (10-19)
        　　2×10+1+2+3+…….9 (20-29)
        　　……
        　　9×10+1+2+3+…….9 (90-99) 余90,9余0,11余2
        　　故二位数总和为(1+2…..+9)×10+1+2…..+9=495
        　　100—199与1—99的区别在于百位多了100个1,共100
        　　所以原数数字值和为45+495+495+100+2=1137,除以9余3.
        　　22:   222……22除以13所得的余数是_____.
        　　2000个
        　　分析与解答:
        　　因为222222=2111111
        　　=21111001
        　　=211171113
        　　所以222222能被13整除.
        　　又因为2000=6333+2
        　　222…2=222…200+22
        　　2000个 1998
        　　2213=1…9
        　　所以要求的余数是9.
        　　求除以9,11,99,101,999,1001,13和91的余数分别是多少;
        　　解答:
        　　23: 除以9的余数是0,
        　　11: 一个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5. 2007个2007奇数位上数字和与偶数位上数字的和的差为5×2007.
        　　≡5×2007≡3(mod11),所以除以11的余数是3
        　　99: 能被9整除,被11除余3的数最小是36,所以除以99余36
        　　200720072007能被7,13,37整除.999=27×37 1001=7×11×13 91=7×13
        　　13: ≡0(mod13) 除以13余0
        　　91: ≡0(mod91) 除以91余0
        　　所以除以13,91,999的余数都是0.
        　　1001: 除以11余3,除以7,13余0,满足次条件的最小数是1092,1092除以1001余91.所以 除以1001的余数是91.
        　　101: 我们发现9999=101×99,所以
        　　=0000+2007=×10000+2007
        　　=×9999++2007≡+2007(mod101)
        　　同样道理
        　　+2007≡+2007×2(mod101)
        　　以此类推 ≡2007×2007(mod101)=68
        　　24、今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物最少几何
        　　解答:此数除以3余2,除以5余3,除以7余2,满足条件最小数是23
        　　25、(23+105k)2)一个数除以7余3,除以11余7,除以13余4,符合此条件的数最小是________;如果它是一个四位数,那么最大可能是________;
        　　解答:满足除以7余3,除以11余7的最小数为73,设此数为73+77a=13b+4, 69-a=13b.
        　　a最小等于4.满足条件的最小数是381.
        　　设最大的四位数为381+1001x,最大的四位数为9390.(1732)
        　　26、今天周一,天之后是星期________;这个数的个位数字是________;
        　　天之后是星期________;
        　　解答:只要求出÷7的余数就可以知道天后是星期几.≡52007(mod7),56≡1(mod7)
        　　2007≡3(mod6), ≡52007≡53≡6(mod7) s
        　　所以天之后是星期日
        　　2007的个位数字是7
        　　20072的个位数字是9
        　　20073的个位数字是3
        　　20074的个位数字是1
        　　20075的个位数字是1
        　　27、一个三位数,被17除余5,被18除余12,那么它可能是________________;
        　　一个四位数,被131除余112,被132除余98,那么它可能是________;
        　　解答:设此三位数为17a+5=18b+12. 可得到17a=17b+b+7,所以b+7一定能被17整除,b=10,27,44.这个三 位数为192,498,804.
        　　设此四位数为131x+112=132y+98,可得到131x=131y+y-14,所以y-14一定能被131整除,y=14,145(太大)
        　　这个四位数是1946
        　　28、甲,乙,丙三个数分别为603,939,393.某数A除甲数所得余数是A除乙数所得余数的2倍,A除乙数所得余数是A除丙数所得余数的2倍.A是________;
        　　解答:如果A除丙所得的余数是1份的话,那么A除乙所得余数就是2份,A除甲所得的余数就是4份.把2乙-甲,则没有余数,即2乙-甲使A的倍数;同理乙-2丙也同样没有余数,是A的倍数.
        　　939×2-603=1275,939-393×2=153
        　　A是1275和153的公约数,而1275与153的最大公约数是51,所以A可能是1,3,17,51
        　　再实验得到A为17,余数分别为8,4,2.