四年级奥数知识点：定义新运算

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　　我们学过的常用运算有：+、-、×、÷等.
        　　如：2+3=5
        　　2×3=6
        　　都是2和3，为什么运算结果不同呢?主要是运算方式不同，实际是对应法则不同.可见一种运算实际就是两个数与一个数的一种对应方法，对应法则不同就是不同的运算.当然，这个对应法则应该是对任意两个数，通过这个法则都有一个唯一确定的数与它们对应.只要符合这个要求，不同的法则就是不同的运算.在这一讲中，我们定义了一些新的运算形式，它们与我们常用的“+”，“-”，“×”，“÷”运算不相同.
        　　我们先通过具体的运算来了解和熟悉“定义新运算”.
        　　例1 设a、b都表示数，规定a△b=3×a—2×b，
        　　①求 3△2， 2△3;
        　　②这个运算“△”有交换律吗?
        　　③求(17△6)△2，17△(6△2);
        　　④这个运算“△”有结合律吗?
        　　⑤如果已知4△b=2，求b.
        　　分析解定义新运算这类题的关键是抓住定义的本质，本题规定的运算的本质是：用运算符号前面的数的3倍减去符号后面的数的2倍.解：① 3△2= 3×3-2×2=9-4= 5
        　　2△3=3×2-2×3=6-6=0.
        　　②由①的例子可知“△”没有交换律.
        　　③要计算(17△6)△2，先计算括号内的数，有：17△6=3×17-2×6=39;再计算第二步
        　　39△2=3 × 39-2×2=113，
        　　所以(17△6)△2=113.
        　　对于17△(6△2)，同样先计算括号内的数，6△2=3×6-2×2=14，其次
        　　17△14=3×17-2×14=23，
        　　所以17△(6△2)=23.
        　　④由③的例子可知“△”也没有结合律.⑤因为4△b=3×4-2×b=12-2b，那么12-2b=2，解出b=5.
        　　例2 定义运算※为a※b=a×b-(a+b)，①求5※7，7※5;
        　　②求12※(3※4)，(12※3)※4;
        　　③这个运算“※”有交换律、结合律吗?④如果3※(5※x)=3，求x.
        　　解：① 5※7=5×7-(5+7)=35-12=23，7※ 5= 7×5-(7+5)=35-12=23.
        　　②要计算12※(3※4)，先计算括号内的数，有：3※4=3×4-(3+4)=5，再计算第二步12※5=12×5-(12+5)=43，
        　　所以 12※(3※4)=43.
        　　对于(12※3)※4，同样先计算括号内的数，12※3=12×3-(12+3)=21，其次
        　　21※4=21×4-(21+4)=59，所以(12※ 3)※4=59.③由于a※b=a×b-(a+b);
        　　b※a=b×a-(b+a)
        　　=a×b-(a+b)(普通加法、乘法交换律)
        　　所以有a※b=b※a，因此“※”有交换律.
        　　由②的例子可知，运算“※”没有结合律.
        　　④5※x=5x-(5+x)=4x-5;
        　　3※(5※x)=3※(4x-5)
        　　=3(4x-5)-(3+4x-5)
        　　=12x-15-(4x-2)
        　　= 8x- 13
        　　那么 8x-13=3
        　　解出x=2.
        　　

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        　　③这个运算有交换律和结合律吗?
        　　

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        　　的观察，找到规律：
        　　

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        　　例5 x、y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y=mx+ny，x△y=kxy，其中 m、n、k均为自然数，已知 1*2=5，(2*3)△4=64，求(1△2)*3的值.
        　　分析 我们采用分析法，从要求的问题入手，题目要求1△2)*3的值，首先我们要计算1△2，根据“△”的定义：1△2=k×1×2=2k，由于k的值不知道，所以首先要计算出k的值.k值求出后，l△2的值也就计算出来了，我们设1△2=a.
        　　(1△2)*3=a*3，按“*”的定义： a*3=ma+3n，在只有求出m、n时，我们才能计算a*3的值.因此要计算(1△2)* 3的值，我们就要先求出 k、m、n的值.通过1*2 =5可以求出m、n的值，通过(2*3)△4=64求出 k的值.
        　　解：因为1*2=m×1+n×2=m+2n，所以有m+2n
        　　=5.又因为m、n均为自然数，所以解出：
        　　

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        　　①当m=1，n=2时：
        　　(2*3)△4=(1×2+2×3)△4
        　　=8△4=k×8×4=32k
        　　有32k=64，解出k=2.
        　　②当m=3，n=1时：
        　　(2*3)△4=(3×2+1×3)△4
        　　=9△4=k×9×4=36k
        　　　　　

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        　　所以m=l，n=2，k=2.
        　　(1△2)*3=(2×1×2)*3
        　　=4*3
        　　=1×4+2×3
        　　=10.
        　　在上面这一类定义新运算的问题中，关键的一条是：抓住定义这一点不放，在计算时，严格遵照规定的法则代入数值.还有一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算定律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题.