数数与计数（一）

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　　数学需要观察.大数学家欧拉就特别强调观察对于数学发现的重要作用，认为“观察是一件极为重要的事”.本讲数数与计数的学习有助于培养同学们的观察能力.在这里请大家记住，观察不只是用眼睛看，还要用脑子想，要充分发挥想像力.
       
        　　例1 数一数，图2－1和图2－2中各有多少黑方块和白方块？
       

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        　　解：仔细观察图2－1，可发现黑方块和白方块同样多.因为每一行中有4个黑方块和4个白方块，共有8行，所以：
       
        　　黑方块是：4×8=32（个）
       
        　　白方块是：4×8=32（个）
       
        　　再仔细观察图2－2，从上往下看：
       
        　　第一行白方块5个，黑方块4个；
       
        　　第二行白方块4个，黑方块5个；
       
        　　第三、五、七行同第一行，
       
        　　第四、六、八行同第二行；
       
        　　但最后的第九行是白方块5个，黑方块4个.可见白方块总数比黑方块总数多1个.
       
        　　白方块总数：5+4+5+4+5+4+5+4+5=41（个）
       
        　　黑方块总数：4+5+4+5+4+5+4+5+4=40（个）
       
        　　再一种方法是：
       
        　　每一行的白方块和黑方块共9个.
       
        　　共有9行，所以，白、黑方块的总数是：
       
        　　9×9=81（个）.
       
        　　由于白方块比黑方块多1个，所以白方块是41个，黑方块是40个.
       
        　　例2 图2－3所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成，中间有个“雪花”状的墙洞，问需要几块正六边形的砖（图2－4）才能把它补好？
       

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        　　解：仔细观察，并发挥想象力可得出答案，用七块正六边形的砖可把这个墙洞补好.如果动手画一画，就会看得更清楚了.
       
        　　例3将8个小立方块组成如图2－5所示的“丁”字型，再将表面都涂成红色，然后就把小立方块分开，问：
       
        　　（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？
       
        　　（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？
       

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        　　（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？
       
        　　解：如图2－6所示，看着图，想像涂色情况.当把整个表面都涂成红色后，只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接触的面），没有被涂色.每个小立方体都有6个面，减去没涂色的面数，就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都写在了它的上面，参看图2－6所示.
       

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        　　（1）3面涂色的小立方体共有1个；
       
        　　（2）4面涂色的小立方体共有4个；
       
        　　（3）5面涂色的小立方体共有3个.
       
        　　例4如图2－7所示，一个大长方体的表面上都涂上红色，然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在这些切成的小立方体中，问：］
         
       

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        　　（1）1面涂成红色的有几个？
       
        　　（2）2面涂成红色的有几个？
       
        　　（3）3面涂成红色的有几个？
       
        　　解：仔细观察图形，并发挥想像力，可知：
       
        　　（1）上下两层中间的2块只有一面涂色；
       
        　　（2）每层四边中间的1块有两面涂色，上下两层共8块；
       
        　　（3）每层四角的4块有三面涂色，上下两层共有8块.最后检验一下小立体总块数：
       
        　　2+8+8=18（个）.