六年级奥数题及答案：数位问题

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　　1．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?
       
        　　解：
       
        　　首先研究能被9整除的数的特点：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除；如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。
       
        　　解题：1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除
       
        　　依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除
       
        　　10~19，20~29……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就是10+20+30+……+90=450 它有能被9整除
       
        　　同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除
       
        　　也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；
       
        　　同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少200020012002200320042005
       
        　　从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；
       
        　　200020012002200320042005的各位数字之和是27，也刚好整除。
       
        　　最后答案为余数为0。
       
        　　2．A和B是小于100的两个非零的不同自然数。求A+B分之A-B的最小值...
       
        　　解：
       
        　　(A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B)
       
        　　前面的 1 不会变了，只需求后面的最小值，此时 (A-B)/(A+B) 最大。
       
        　　对于 B / (A+B) 取最小时，(A+B)/B 取最大，
       
        　　问题转化为求 (A+B)/B 的最大值。
       
        　　(A+B)/B = 1 + A/B ，最大的可能性是 A/B = 99/1
       
        　　(A+B)/B = 100
       
        　　(A-B)/(A+B) 的最大值是： 98 / 100
       
        　　3．已知A.B.C都是非0自然数,A/2 + B/4 + C/16的近似值市6.4,那么它的准确值是多少?
       
        　　答案为6.375或6.4375
       
        　　因为A/2 + B/4 + C/16＝8A+4B+C/16≈6.4，
       
        　　所以8A+4B+C≈102.4，由于A、B、C为非0自然数，因此8A+4B+C为一个整数，可能是102，也有可能是103。
       
        　　当是102时，102/16＝6.375
       
        　　当是103时，103/16＝6.4375
       
        　　4．一个三位数的各位数字 之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字对调,得到一个新的三位数,则新的三位数比原三位数大198,求原数.
       
        　　答案为476
       
        　　解：设原数个位为a，则十位为a+1，百位为16-2a
       
        　　根据题意列方程100a+10a+16-2a－100（16-2a）-10a-a＝198
       
        　　解得a＝6，则a+1＝7 16-2a＝4
       
        　　答：原数为476。
       
        　　5．一个两位数,在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数.
       
        　　答案为24
       
        　　解：设该两位数为a，则该三位数为300+a
       
        　　7a+24＝300+a
       
        　　a＝24
       
        　　答：该两位数为24。
       
        　　6．把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加,和恰好是某自然数的平方,这个和是多少?
       
        　　答案为121
       
        　　解：设原两位数为10a+b，则新两位数为10b+a
       
        　　它们的和就是10a+b+10b+a＝11（a+b）
       
        　　因为这个和是一个平方数，可以确定a+b＝11
       
        　　因此这个和就是11×11＝121
       
        　　答：它们的和为121。
       
        　　7．一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数.
       
        　　答案为85714
       
        　　解：设原六位数为abcde2，则新六位数为2abcde（字母上无法加横线，请将整个看成一个六位数）
       
        　　再设abcde（五位数）为x，则原六位数就是10x+2，新六位数就是200000+x
       
        　　根据题意得，（200000+x）×3＝10x+2
       
        　　解得x＝85714
       
        　　所以原数就是857142
       
        　　答：原数为857142
       
        　　8．有一个四位数,个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换,新数就比原数增加2376,求原数.
       
        　　答案为3963
       
        　　解：设原四位数为abcd，则新数为cdab，且d+b＝12，a+c＝9
       
        　　根据“新数就比原数增加2376”可知abcd+2376=cdab,列竖式便于观察
       
        　　abcd
       
        　　2376
       
        　　cdab
       
        　　根据d+b＝12，可知d、b可能是3、9；4、8；5、7；6、6。
       
        　　再观察竖式中的个位，便可以知道只有当d＝3，b＝9；或d＝8，b＝4时成立。
       
        　　先取d＝3，b＝9代入竖式的百位，可以确定十位上有进位。
       
        　　根据a+c＝9，可知a、c可能是1、8；2、7；3、6；4、5。
       
        　　再观察竖式中的十位，便可知只有当c＝6，a＝3时成立。
       
        　　再代入竖式的千位，成立。
       
        　　得到：abcd＝3963
       
        　　再取d＝8，b＝4代入竖式的十位，无法找到竖式的十位合适的数，所以不成立。
       
        　　9．有一个两位数,如果用它去除以个位数字,商为9余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数.
       
        　　解：设这个两位数为ab
       
        　　10a+b＝9b+6
       
        　　10a+b＝5（a+b）+3
       
        　　化简得到一样：5a+4b＝3
       
        　　由于a、b均为一位整数
       
        　　得到a＝3或7，b＝3或8
       
        　　原数为33或78均可以
       
        　　10．如果现在是上午的10点21分,那么在经过28799...99(一共有20个9)分钟之后的时间将是几点几分?
       
        　　答案是10：20
       
        　　解：
       
        　　（28799……9（20个9）+1）/60/24整除，表示正好过了整数天，时间仍然还是10：21，因为事先计算时加了1分钟，所以现在时间是10：20