奥数开心训练趣味思考题之数论难题

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　　此题来自雪帆奥数家长交流群内答疑题（推荐给五年级、六年级的孩子使用）：
        　　在一条纸带上写着1至9九个数字，如下图：
        　　123456789
        　　将它剪成三段，每段上数字联在一起算一个数（每个数的位数不一定相等），把这三个数相加，使和能被77整除，那么中间一段的数是____。
        　　雪帆奥数王老师分析：这是1997年小学数学奥林匹克决赛中的一道整除的问题。
        　　这道题的难度，主要涉及数的整除，确定三个数的位数。
        　　现在，我把这道题的完整解答过程书写在此，请家长带着孩子一起阅读和思考。
        　　备注：下面文字分析较多，但思路很简单，主要是我们找到了这道题存在的很多特点，缩小范围，讨论起来就简单多了。不信你仔细，耐心的往下看。
        　　1）这个数既然能被77整除，那一定要满足被7和11整除，而11整除的特征很明确，即，奇数位的数字和与偶数位的数字之和的差要被11整除。7整除的特征不明显，也不太常用，这里只需要用来验证答案即可；
        　　2）9个数字，剪成三段，不管怎么排，奇数位的数字个数最少5位，最多6位，而偶数位的数字之和最少3位，最多4位。而且数字9一定在奇数位。这一点你只要在纸上写一下就能判断出来；
        　　3）分析第二条的目的是，“基本”可以判定偶数位的数字和要比奇数位的数字和小。这里我说“基本上”，是因为一个自然数必须先出现奇数位，再出现偶数位，而奇数位上的这个数字一定要比它前面的偶数位的数字要大。更何况，偶数位前面还有可能出现奇数位，这一句请仔细体会；
        　　4）利用这个结论，结合11整除的特征，再根据所有数字之和为45，是奇数，就有两种情况：
        　　a）数字之差为11，偶数位的数字之和为（45-11）÷2=17,奇数位的数字之和为17+11=18；
        　　b）数字之差为33，偶数位的数字之和为（45-33）÷2=6这是不可能的。原因参考第五条。
        　　5）根据分段出的三个自然数可知，相邻的2个数字不可能同时出现在偶数位（奇数位），并且至少有三个偶数，所以17只有两种情况：
        　　a）17=8+6+3分成的三个自然数只能是1+234+56789验证和并不能被7整除。
        　　b）17=8+5+3+1分成的三个自然数只能是1234+56+789验证和能被7整除。
        　　所以，答案为56.
        　　以下分析方法来自网上其他老师的解答（可对比参考）：
        　　由于77=7×11，（7、11）=1，所以能被77整除的数，必能分别被7和11整除。
        　　先考虑能被11整除。一个数若能被11整除，其奇位数字之和与偶位数字之和的差必能被11整除。对于这
        　　一性质，可以得到这样的推论：如果几个加数的和能被11整除，那么这几个加数所有奇位数字之和与偶位数
        　　字之和的差必能被11整除。
        　　对于这条纸带上的九个数字，不管怎样剪，奇位数字和总大于偶位数字和。由于1+2+3+4+5+6+7+8+9=45
        　　，45=39+6=28+17，39-6=11×3，28-17=11，所以奇数、偶数的所有数字和分别是39和6或28和17。
        　　（一）当奇位数字之和是39，偶位数字之和是6时，因为6=1+2+3=5+1=4+2，只剪两刀，使另外的6个或7
        　　个数字都在奇位上，这显然是办不到的。
        　　（二）当奇位数字之和是28，偶位数字之和是17时，因为
        　　（1）如果9、8、7、3、1在奇位上，无法使相邻的三个数字4、5、6都在偶位上。
        　　（2）如果9、8、6、3、2在奇位上，无法使相邻的两个数字4、5都在偶位上。
        　　（3）如果9、8、6、4、1在奇位上，无法使相邻的两个
        　　（4）如果9、8、5、4、2在奇位上，无法使相邻的两个数字6、7都在偶位上。
        　　（5）如果9、7、6、5、1在奇位上，无法使相邻的三个数字2、3、4都在偶位上。
        　　（6）如果9、7、6、4、2在奇位上，相邻的两个数字6、7都在奇位上，因此必在6、7之间剪一刀，另一
        　　刀的剪法有三种：
        　　第一种剪法得到的三个数的和：12+3456+789=4257，4257÷7=608……1
        　　第二种剪法得到的三个数的和：1234+56+789=2079，2079÷7=297，由此可知，剪后中间一段的数是56。
        　　第三种剪法得到的三个数的和：123456+7+89=123552，123552÷7=17650……2。
        　　（7）如果9、7、5、4、3在奇位上，无法使相邻的两个数字1、2都在偶位上。
        　　综上所述，本题只有一种剪法，中间一段的数是56