小升初数学行程问题1

小学教育网

　　第一讲  行程问题
       
        　　走路、行车、一个物体的移动，总是要涉及到三个数量：
       
        　　距离走了多远，行驶多少千米，移动了多少米等等；
       
        　　速度在单位时间内（例如1小时内）行走或移动的距离；
       
        　　时间行走或移动所花时间.
       
        　　这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：
       
        　　距离=速度×时间
       
        　　很明显，只要知道其中两个数量，就马上可以求出第三个数量.从数学上说，这是一种最基本的数量关系，在小学的应用题中，这样的数量关系也是最常见的，例如
       
        　　总量=每个人的数量×人数.
       
        　　工作量=工作效率×时间.
       
        　　因此，我们从行程问题入手，掌握一些处理这种数量关系的思路、方法和技巧，就能解其他类似的问题.
       
        　　当然，行程问题有它独自的特点，在小学的应用题中，行程问题的内容最丰富多彩，饶有趣味.它不仅在小学，而且在中学数学、物理的学习中，也是一个重点内容.因此，我们非常希望大家能学好这一讲，特别是学会对一些问题的思考方法和处理技巧.
       
        　　这一讲，用5千米/小时表示速度是每小时5千米，用3米/秒表示速度是每秒3米。
       
        　　1.1  追及与相遇
       
        　　有两个人同时在行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的距离，也就是要计算两人走的距离之差.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同时间内，
       
        　　甲走的距离-乙走的距离
       
        　　= 甲的速度×时间-乙的速度×时间
       
        　　=（甲的速度-乙的速度）×时间.
       
        　　通常，“追及问题”要考虑速度差.
       
        　　例1 小轿车的速度比面包车速度每小时快6千米，小轿车和面包车同时从学校开出，沿着同一路线行驶，小轿车比面包车早10分钟到达城门，当面包车到达城门时，小轿车已离城门9千米，问学校到城门的距离是多少千米？
       
        　　解：先计算，从学校开出，到面包车到达城门用了多少时间.
       
        　　此时，小轿车比面包车多走了9千米，而小轿车与面包车的速度差是6千米/小时
       
        　　所用时间=9÷6＝1.5（小时）.
       
        　　小轿车比面包车早10分钟到达城门，面包车到达时，小轿车离城门9千米，说明小轿车的速度是
       
        　　面包车速度是 54-6＝48（千米/小时）.
       
        　　城门离学校的距离是
       
        　　48×1.5＝72（千米）.
       
        　　答：学校到城门的距离是72千米.
       
        　　例2 小张从家到公园，原打算每分种走50米.为了提早10分钟到，他把速度加快，每分钟走75米.问家到公园多远？
       
        　　解一：可以作为“追及问题”处理.
       
        　　假设另有一人，比小张早10分钟出发.考虑小张以75米/分钟速度去追赶，追上所需时间是
       
        　　50 ×10÷（75- 50）＝ 20（分钟）·
       
        　　因此，小张走的距离是
       
        　　75× 20＝ 1500（米）.
       
        　　答：从家到公园的距离是1500米.
       
        　　一种解法好不好，首先是“易于思考”，其次是“计算方便”.那么你更喜欢哪一种解法呢？对不同的解法进行比较，能逐渐形成符合你思维习惯的解题思路.
       
        　　例3 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
       
        　　解：从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了
       
        　　8-4＝4（千米）.
       
        　　而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.
       
        　　这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.
       
        　　但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了
       
        　　4＋12＝16（千米）.
       
        　　少骑行24-16＝8（千米）.
       
        　　摩托车的速度是1千米/分，爸爸骑行16千米需要16分钟.
       
        　　8＋8＋16＝32.
       
        　　答：这时是8点32分.
       
        　　下面讲“相遇问题”.
       
        　　小王从甲地到乙地，小张从乙地到甲地，两人在途中相遇，实质上是小王和小张一起走了甲、乙之间这段距离.如果两人同时出发，那么
       
        　　甲走的距离+乙走的距离
       
        　　=甲的速度×时间+乙的速度×时间
       
        　　=（甲的速度+乙的速度）×时间.
       
        　　“相遇问题”，常常要考虑两人的速度和.
       
        　　例4 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，6小时后相遇于C点.如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米；如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米.求A，B两地距离.
       
        　　解：先画一张行程示意图如下
       
        　　设乙加速后与甲相遇于D点，甲加速后与乙相遇于E点.同时出发后的相遇时间，是由速度和决定的.不论甲加速，还是乙加速，它们的速度和比原来都增加5千米，因此，不论在D点相遇，还是在E点相遇，所用时间是一样的，这是解决本题的关键.
       
        　　下面的考虑重点转向速度差.
       
        　　在同样的时间内，甲如果加速，就到E点，而不加速，只能到 D点.这两点距离是 12＋ 16＝ 28（千米），加速与不加速所形成的速度差是5千米/小时.因此，在D点
       
        　　（或E点）相遇所用时间是
       
        　　28÷5＝ 5.6（小时）.
       
        　　比C点相遇少用 6-5.6＝0.4（小时）.
       
        　　甲到达D，和到达C点速度是一样的，少用0.4小时，少走12千米，因此甲的速度是
       
        　　12÷0.4＝30（千米/小时）.
       
        　　同样道理，乙的速度是
       
        　　16÷0.4＝40（千米/小时）.
       
        　　A到 B距离是（30＋ 40）×6＝ 420（千米）.
       
        　　答： A，B两地距离是 420千米.
       
        　　很明显，例7不能简单地说成是“相遇问题”.