阶梯原理难题

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　　这个题目所要考虑的一系列曲线是阶梯状的，由等腰直角三角形ABC中的A到B(图1～图4)。第一条阶梯曲线有两个阶梯，接下来每次都把阶梯数加倍。如果AC的长度是1，那么稍作思考就可以明白，每一条阶梯曲线的总长度都是2。然而，系列中的第十条阶梯曲线阶梯数为210。这时曲线与直角三角形的斜边已经看不出太大的差异。到了第一百条阶梯曲线，会有1 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000个阶梯，与AB几乎无法分辨。但是依照勾股定理，AB的长

　

　　由半圆形所形成的一系列“蛇形”曲线，也会产生类似的悖论(图5和图6)。

　
　　如果AB的长度是1的话，请证明每一条蛇形曲线的长度为π/2。当蛇形曲线的弯曲度不断增加时，它与线段AB也会愈来愈难以分辨，那么是否意味着π/2=1？
分析与解答：
　　阶梯曲线和蛇形曲线只是“看起来”近似于直线。阶梯的长度永远是2，蛇形的长度也永远是π/2。