奥数思维能力拓展系列之十二面体

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正十二面体是所谓“柏拉图立体”（Platonic solids）的5种正多面体之一。其他4种为正四面体、正方体、正八面体与正二十面体。
    这些立体的每个面都是正多边形，每个顶点与其他的顶点看起来都一样。正十二面体有12个面，每一面都是正五边形。曾有人利用12面，每面代表一个月，做成年历。

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    以正十二面体为基础，还可以制作出外形非常吸引人的星状体。图2是正十二面体展开图的一半。在纸上或纸板上完成图形之后，只要把纸叠在一起，用圆见的针尖穿刺各个顶点，就可以复制此图形。
    （1）画出一个大圆。
    （2）由中心O画5条线至圆周，即OA、OB、OC、OD、OE，夹角都是72°。
    （3）将AB、BC、CD、DE与EA连线，形成正五边形。

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    （4）画出ABCDE所有的对角线。这些对角线会在中心形成较小的五边形PQRST.这个五边形将是正十二面体中的一面。
    （5）现在画出PQRST的对角线（以虚线表示），并作其延长线，以形成其他小五边形的边。
    （6）用穿刺卡片纸的方法复制所需要的平面图。
    （7）在画好的平面图中加上画斜线的粘贴部分，如图2所示。
    （8）仔细剪下平面图，并在所有折线（例如PQ）处用笔或刀背划出刻痕，以便于折叠。
    （9）最后用速干胶粘合。
    在制作过程中要力求精确，否则最后的模型会无法嵌合在一起。
    在完成正十二面体之后，只要在上面加些尖角，就成了绝佳的圣诞节饰品（图3）。

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    这些尖角呈五面金字塔形，金字塔的每一面都是与正十二面体展开图中APQ相等的等腰三角形。
    这个金字塔的展开图很简单：先画一个半圆，半径与形成正十二面体的五边形的对角线相等，将半圆分成5等分，夹角为36°，如图4所示。

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    加上粘贴部分，并在折线处刻下痕印。总共需要12个尖角，因此在复制其他尖角之前最好先做一个，看看是否能与正十二面体接合得很好，然后再复制其他的尖角。
    完成模型之后，你应该可以发现相邻尖角的面都位于同一平面，从而形成五角星形。