组合与推理问题

小学教育网

　　下图中黑白相间的图样乍看起来可能看不出任何规则，其实整个图样由第一行开始依据一项简单的规则逐行产生一个图样。
　　当你已找出该图样的规则并且依此规则再推导出几行之后，试着判定一行中是否有可能产生以下情况：
　　(1)全为黑球。
　　(2)或全为白球。
　　(3)或只出现一个黑球。
　　依据此一规则加以推算，一列中的图样是否有可能重复出现？ (答案见109页)
　


解答与分析
　　自第2行起，每一个球的颜色由其正上方(上一行)左右两球的颜色决定。如果上一行中的两个球颜色相同，则这一行所对应的球为白色，如果颜色不同则为黑色。


　
　　每一行球视为一首尾相连的带子，所以最右端的球与最左端的球相连接。

　
　　因此在决定新的一行中最后一球的颜色时，由上一行最后一球与最前面一球的颜色来决定。在第1行之后黑球数及白球数必定为偶数，为什么？
　　若出现一行中全为白球则其上一行必定全为黑球或全为白球，所以与出现一行全为白球与一行全为黑球的概率有关。如果一行中全为黑球则其上一行必定是黑球与白球相间，从下面的讨论中可以看出这种情况不可能发生。

　
　　假设6为白球则1必定要为黑球，以使得第2行的最右端为黑球。此时2必须为黑球，如此才能使第2行的最左端为白球。2为黑球则3为白球，此又意味着4为白球，接着又意味着5为黑球，结果这造成5和6的颜色相反，这与下一行倒数第2个球为白色的事实相矛盾。同样，如果第6个球的颜色为黑色，则仍会产生相同的矛盾。
　　只出现一个黑球的情况也不可能发生，因为这种情况必定会在上一行产生一个黑球及一个白球，经过简单的推论后将发现最后多出一个黑球。
　　这种规则的图样必定会在某一次排列时出现相同的一行。因为每一行中可能出现的图样数目有限，而应用该规则可连续不断地产生新序列，所以必定会有重复的情形出现。