有趣的魔术多边形

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　　将适当的数字填入图中圆圈内，使得各图形每一边的数字的和都相等，而且恰等于图中央方格内的数字。这些多边形可称为“魔术多边形”，中央方格内的数字就是“魔术数字”。三角形中可以填入的数字为1到6，正方形中可以填入的数字为1到8，五边形中可以填入1到10，六边形则可填入1到12。
       
        　　因为总和均已给定，而且图中也已填入一些数字，所以要求得上述多边形的解并不困难。
       
        　　如果各图形中所用的数字不变，但改变其相关位置，也可以成为魔术多边形，不过魔术数字不同。每一种多边形至少可以找到4个例子。试着归纳出解题规则，使其在解边数更多的多边形时仍能适用。
       
        　　解答与分析
       
        　　仔细观察这些解，可以发现所有的答案都是两两成对。先以四边形为例，只要用9分别去减一组答案中的每一个数字，就可以得到另一组答案。
       
        　　9这个数字为四边形内可填入的最大数字8加1而来。所以当你得到一组新的解答时，只要将n改为9－n，即可得另一组解。
       
        　　同样的，对于五边形及六边形，只要分别将n改为11－n和13－n，即可得到另一组解。
       
        　　当我们在求魔术多边形的解时，最好是先确定中间方格内的魔术数字。让我们先来看看可填入数字为1到12的六边形以做说明。
       
        　　在六边形中，魔术数字S的六倍必定等于数字1至12的总和(等于78)再加上在6个角落上的数字。角落上的数字之和的最小值是1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，最大值是7＋8＋9＋10＋11＋12＝57，所以：
       
        　　99≤6S≤135所以：
       
        　　S＝17，18，19，20，21或22
       
        　　假设我们决定以17为魔术数字，下一步就是在1到12中找出所有和为17的计算式：
       
        　　12＋4＋1 12＋3＋2 11＋5＋1 11＋4＋2 10＋6＋1
       
        　　10＋5＋2 10＋4＋3 9＋7＋1 9＋6＋2 9＋5＋38＋7＋2 8＋6＋3 8＋5＋4 7＋6＋4
       
        　　然后必须观察每一个数字出现的频率，比如说12只出现两次，这可以使我们想到应把它放到六边形一条边的中间位置。这种策略将缩小我们解题的范围，但还是需要耐心去试验。如果你有足够的经验，则可以想出更好的方法，但是上面的提示是一个很好的切入点。