小学五年级奥数第四讲——鸡兔同笼问题

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　　小学五年级奥数第四讲——鸡兔同笼问题
　　“鸡兔同笼”问题小朋友们听说过吗？这是一类著名的数学问题。比如：“鸡兔同笼，共有45个头，146只脚。笼中各有多少只鸡兔？”鸡兔同笼问题的特点是：题目中有两个或两个以上的未知数，要求根据总数量，求出各未知数的单量。解题时，首先要根据题目中所给出的两个未知数的关系，用一个未知数代替另一个未知数，从而将两个未知数装化为一个未知数，从而解出答案。
　　典型例题
　　例【1】鸡兔同笼，共有45个头，146只脚。笼中鸡兔各有多少只？
　　分析题目中给出了鸡、兔共45只。如果假设这45只全都是兔子，那么就应该有180只脚。而题目只告诉我们有146只脚，我们算的180只脚和实际相比多算了34只脚。为什么呢？因为一只鸡是两只脚，而我们把它当成4只脚算了。如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少2之脚，那么，34只脚里包含多少个2只脚，也就是我们把多少只鸡当成了兔子，显然34÷2＝17（只）。所以鸡有17只，兔子有28只。当然，我们也可以把45只都假设成是鸡，把以上问题反过来考虑。
　　解法一假设全是兔子。
　　（4×45－146）÷（4－2）＝17（只）——鸡
　　45－17＝28（只）——兔
　　解法二假设全是鸡。
　　（146－2×45）÷（4－2）＝28（只）——兔
　　45－28＝17（只）——鸡
　　答：鸡有17只，兔子有28只。
　　例【2】盒子里有大、小两种钢珠共30个，共重266克，已知大钢珠每个11克，小钢珠每个7克。盒中大钢珠、小钢珠各有多少个？
　　分析假设全部都是大钢珠，则共重：11×30＝330（克）；
　　比原来的克数重：330－266＝64（克）；
　　小钢珠的个数是：64÷（11－7）＝16（个）
　　大钢珠的个数是：30－16＝14（个）
　　同样，也可以假设全部都是小钢珠。算法一样。
　　解法一假设全是大钢珠。
　　（30×11－266）÷（11－7）＝16（个）——小钢珠
　　30－16＝14（个）——大钢珠
　　解法二假设全是小钢珠。
　　（266－30×7）÷（11－7）＝14（个）——大钢珠
　　30－14＝16（个）——小钢珠
　　例【3】一个集邮爱好者买了10分和20分的邮票共100张，总值18元8角。这个集邮爱好者买这两种邮票各多少张？
　　分析先假定买来的100张邮票全部是20分一张的，那么总值应是2000分，比原来的总值多120分。而多的120分，是把10分一张的看作是20分的一张的，每张多算10分。因此可以先求出10分一张的邮票有多少张。
　　解10分一张的邮票的张数有：
　　（2000－1880）÷（20－10）＝12（张）
　　20分一张的邮票张数有：
　　100－12＝88（张）
　　答：10分一张的邮票有12张，20分一张的邮票有88张。
　　例【4】学校买来3个排球和2个足球，共花去111元。每个足球比每个排球贵3元。每个排球和每个足球各多少元？
　　分析根据“每个足球比每个排球贵3元”可知，当把买2个足球换成买2个排球时，买球共花的钱就会比原来少6元，现在买的是（3＋2）个排球，因此，可以求出每个排球的价钱。
　　解每个排球的价钱：
　　（111－3×2）÷（3＋2）＝21（元）
　　每个足球的价钱：
　　21＋3＝24（元）
　　答：每个排球的价钱是21元，每个足球的价钱是24元。
　　同样，这道题也可以将3个排球换成3个足球来考虑。
　　例【5】买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱。如果买3支钢笔和5支圆珠笔共花17元，问两种笔每支各多少元？
　　分析根据“买2支钢笔的价钱等于买8支圆珠笔的价钱”，可知“买1支钢笔的价钱等于买4支圆珠笔的价钱”，买3支钢笔的价钱可以买（4×3）支圆珠笔。这样，我们就可以将买钢笔的支数转换为买圆珠笔的支数了。从而顺利地求出每支圆珠笔的价钱。
　　解一支圆珠笔的价钱：
　　5＋（8÷2）×3＝17（支）
　　17÷17＝1（元）
　　一支钢笔的价钱：
　　1×8÷2＝4（元）
　　答：一支钢笔4元，一支圆珠笔1元。
　　小结解“鸡兔同笼问题”的常用方法是“替换法”、“转换法”、“置换法”等。通常把其中一个未知数暂时当作另一个未知数，然后根据已知条件进行假设性的运算，直到求出结果。
　　概括起来，解“鸡兔同笼问题”的基本公式是：
　　鸡数＝（每只兔脚数×鸡兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡的脚数）
　　兔数＝鸡兔总数－鸡数