[奥数课堂]往返行程问题的解法探讨

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不少学生在解答往返行程问题时往往束手无策，有的虽能解出，但过程冗长、步骤繁琐，究其原因是还没有把握住这类题的基本特征。现以下面几道题为例，说明只有掌握它们的特征，才能得出简捷的解法。
[B]例1[/B] 甲乙两辆汽车分别从相距63千米处的矿山与堆料场运料同时相向开出，时速分别为40千米和50千米，如果不计装卸时间，那么，两车往返运料自出发到第三次相遇共经过多少时间？
　　该题为往返行程问题，即两者往返于两地之间，不止一次地相遇。这种问题除具备相遇问题的特征外，还有如下特征：

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　　由图可见，第一次相遇两车行的路程和等于两地距离。以后每增加一次相遇，两车行的路程和为两地距离的2倍。故到第三次相遇，两车行的总路程为两地距离的5倍，这样便不难得出该题的解法：
　　63×5÷（40+50）=3.5（小时）
　　掌握了上述特征后，就能把较复杂的往返行程问题化难为易，解法化繁为简。如：
[B]例2[/B] 甲、乙两人同时从东西两镇相向步行，在距西镇20千米处两人相遇，相遇后两人又继续前进。甲至西镇、乙至东镇后都立即返回，两人又在距东镇15千米处相遇，求东西两镇距离？
[B]解法一[/B] 设东西两镇相距为x千米，由于两次相遇时间不变，则两人第一次相遇前所走路程之比等于第二次相遇前所走路程之比，故得方程：
　　

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　　所以东西两镇相距45千米。
[B]解法二[/B] 紧扣往返行程问题的特征，两人自出发至第二次相遇所走路程总和为东西两镇距离的3倍，而第一次相遇距西镇20千米，正是乙第一次相遇前所走路程，则从出发至第二次相遇乙共走（20×3=）60（千米），第二次相遇时乙已从东镇返回又走了15千米，所以，两镇的距离为（20×3-15=）45（千米）
[B]例3[/B] 甲乙两人同时从东镇出发，到相距90千米的西镇办事，甲骑自行车每小时行30千米，乙步行每小时行10千米，甲到西镇用1小时办完事情沿原路返回，途中与乙相遇。问这时乙走了多少千米？

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[B]解法一[/B] 东西两镇相距90千米，甲每小时行30千米，共需（90÷30=）3（小时）。
　　连办事共用了（3+1=）4（小时）。
　　乙每时行10千米，4小时共行（10×4=）40（千米）。
　　这时两人相距（90-40=）50（千米），两人正好同时从 A、B相向而行，其相遇时间为（50÷（30+10）=）1.25（小时）。于是乙从出发至相遇经过了（4+1.25
　　因此，共走了10×5.25＝52.5（千米）。
[B]解法二[/B] 根据题意可知甲从东镇到西镇，返回时与乙相遇（乙未到西镇，无返回现象），故两人所行路程总和为（90×2=）180（千米），但因甲到西镇用了1小时办事。倘若甲在这1小时中没有停步（如到另一地方买东西又回到西镇，共用1小时），这样两人所行总路程应为：
　　90×2+30=210（千米），又因两人速度和为30+10=40（千米），故可求得相遇时间为：（210÷40=）5.25（小时），则乙行了（10×5.25=）52.5（千米）。
[B]例4[/B] 快慢两车同时从甲乙两站相对开出，6小时相遇，这时快车离乙站还有240千米，已知慢车从乙站到甲站需行15小时，两车到站后，快车停留半小时，慢车停留1小时返回，从第一次相遇到返回途中再相遇，经过多少小时？

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[B]解法一[/B] 240÷6=40（千米）（慢车速度）
　　40×15=600（千米）（甲乙两站距离）
　　（600-240）÷6=60千米（快车速度）
　　快车第一次相遇后继续前进至乙站，又开了（240÷60=）4（小时），连停留时间共用了4.5小时。
　　慢车第一次相遇后，向前开了4.5小时，应行（40×4.5=180（千米），到A处，这样慢车距离甲站还有（600-240-180=）180（千米），如继续开到甲站，加上停留时间，还要用（180÷40+1=）5.5（小时）。
　　在这5.5小时中，快车又从乙站返回开至B处，距甲站为（600-60×5.5＝）270（千米）。
　　这时就相当于两车从相距270千米的两地（甲站和B处）同时相向开出，则可求出其相遇时间为：270÷（60+40）=2.7（小时）
　　最后，求得慢车从第一次相遇到返回途中再相遇所经过的时间为（4.5+5.5+2.7=）12.7（小时），即为问题所要求的。
[B]解法二[/B] 根据往返相遇问题的特征可知，从第一次相遇到返回途中再相遇，两车共行的路程为甲乙两站距离的2倍，再根据例3解法二的设想方法，即假设快车不在乙站停留0.5小时，慢车不在甲站停留1小时，则两车从第一次相遇到第二次相遇所行总路程为600×2+60×0.5+40×1=1270（千米），故此期间所经时间为1270÷（60+40）=12.7（小时）
　　通过以上几例分析，不难看出解法二甚为简便，这是由于灵活运用往返行程问题的基本特征所致。