小学生趣味数学题一百一十九（家家户户齐上场）

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　　电视里的大众娱乐节目，例如家庭卡拉OK歌唱大奖赛、快乐大转盘等，常有观众全家参加的，一家一家的出场比赛，一家一家的登台领奖，场上的人家玩得高兴，场下的人家看得开心。
　　在下面的分数求和问题里，进入和式的分数也是一家一家的登场：
　　

　　式子长了些，先看看有没有规律可循。
　　这里面的分数，分母相同的连在一起，一组一组的。它们都是全家齐上场：以2为分母的真分数，只有一个，自成一家；以3为分母、4为分母和5为分母的真分数，分别组成两口之家、三口之家和四口之家。
　　有数了，不忙，一家一家的来。先分别求出每一家的和，再求各家的总和。
　　以2为分母的分数只有1个，和是

　
　　以3为分母的有2个，和是

　
　　以4为分母的分数有3个，和是
　　

　
　　以5为分母的分数有4个，和是
　　

　
　　这样就得到，所有分数的总和是

　
　　上面这道求和问题，参加的分数家庭只有4个，规模不大，不过已经看出一个简便方法：在每个分数家庭里，把最大的与最小的搭配成一对，其和为1，放到一旁；再把剩下来最大的和最小的搭配成一对，其和为1，再放到一旁；如此继续。直到最后，如果这一家的分数个数逢双，那么恰好全部搭配成对；如果这一家的分数个数逢单，那么剩下正

　　这样也就发现一个规律：每一个分数家庭里，全部真分数的和，恰好等于它们个数的一半。
　　由此推出，在这类全家出动的真分数求和问题中，只要数一数有多少个分数参加，拿它们的总个数除以2，就得到所求的和。
　　通过试点摸索到规律，就可以推广了。这次多邀请些分数家庭参加，把分母的范围扩大为从2到50，求下面的和：

　　根据刚才的经验，我们先来数一数，这里总共多少个分数。
　　应邀参与求和的分数家庭，分母从2到50，共计49家，每家出场分数的个数从1到49，总数是
　　1+2＋3＋…＋47十48＋49
　　=［(1＋2＋…＋48＋49)＋(49＋48＋…＋2＋1)］÷2
　　=［(1＋49)+(2＋48)+…＋(48＋2)＋(49＋1)］÷2
　　= 49×50÷2
　　= 1225。
　　再拿总个数除以2，就得到