整数分拆例析

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整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。所谓整数的分拆，就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式，每一种表示方法，便是这个自然数的一个分拆。整数分拆的要求通常是将一个自然数拆成两个（或两个以上）自然数的和，并使这些自然数的积最大（或最小）；或拆成若干个连续自然数的和等等。下面举例作出剖析。
[B]　　例1 [/B]将14分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，应该如何分拆？
　　分析与解 不考虑加数顺序，将14分拆成两个自然数的和，有1+13，2+12，3+11，4+10，5+9，6+8，7+7共七种方法。经计算，容易得知，将14分拆成7+ 7时，有最大积7×7=49。
[B]　　例2 [/B]将15分拆成两个自然数的和，并使这两个自然数的积最大，如何分拆？
　　分析与解 不考虑加数顺序，可将15分拆成下列形式的两个自然数的和：1+14，2+13，3+12，4+11，5+10，6+9，7+8。显见，将15分拆成7+8时，有最大积7×8=56。
　　注：从上述两例可见，将一个自然数分拆成两个自然数的和时，如果这个自然数是偶数2m，当分拆成m+m时，有最大积m×m=m2；如果这个自然数是奇数2m+1，当分拆成m+（m+1）时，有最大积m×（m+1）。
[B]　　例3 [/B]将14分拆成3个自然数的和，并使这三个自然数的积最大，如何分拆？
　　分析与解 显然，只有使分拆成的数之间的差尽可能地小（比如是0或1），这样得到的积才最大。这样不难想到将14分拆成4+5+5时，有最大积4×5×5=100。
[B]　　例4 [/B]将14分拆成若干个自然数的和，并使这些自然数的积最大，如何分拆？
[B]　　分析与解[/B] 首先应该考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。
　　首先分拆成的数中不能有1，这是显而易见的。
　　其次分成的数中不能有大于4的数，不然的话，将这个数再拆成2与另一个自然数的和，这两个数的积一定比原数大。比如5=2+3，但5比2×3=6小。
　　又因为4=2×2，因此，可以考虑将14分拆成若干个2或3了。
　　注意到2+2+2=6，2×2×2=8；3+3=6，3×3= 9.因此，分拆成的数中如果有三个2，还不如换成两个3。这样可知，分拆成的数中至多只能有两个2，其余都是3。
　　综合上述结果，应该将14分拆成四个3与一个2之和，即14=3+3+3+3+2，这样可得到五个数的最大积3×3×3×3×2=162。
　　上述几例是关于如何将一个自然数分拆成若干个自然数的和，并使它们的积最大的问题。下面两例则是如何将一个自然数按题目要求拆成若干个连续自然数的问题。
[B]　　例5 [/B]将1994分拆成若干个连续自然数的和，一共有多少种不同的方法？
[B]　　分析与解[/B] 因1994=997×2=492+493+494+ 495，仅一种方法。所以，该题有唯一解。
[B]　　例6 [/B]将35分拆成若干个连续自然数的和，一共有多少种不同的方法？
[B]　　分析与解 [/B]由于35=5×7=7×5，因此35可以分拆成2+3+4+5+6+7+8或5+6+7+8+9，一共有两种方法。