小学奥数知识系列之－－简便方法求余数

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首届“华罗庚金杯”复赛中有这样一道题：
　　71427和19的积被7除，余数是几？
　　有恒心的小朋友会先耐心地乘，再耐心地除，最后得到余数.即：

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　　因此，71427与19的积被7除，余数是2.然而，小明却做出了另外一种方法.请看：先用71427和19两个数分别除以7，得到
　　　　

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　　再利用乘法的分配律变换算式
　　71427×19=（10203×7+6）×19
　　=10203×7×19+6×19
　　=10203×7×19+6×（2×7+5）
　　=10203×7×19+6×2×7+6×5
　　然后，他想，式中划“――”的部分都是7的倍数，能被7整除.那么，71427×19的积被7除的余数就等于式中划“”的部分（两个余数的乘积）被7除的余数，因此
　　6×5=30，
　　30÷7=4……余2.
　　所要求的余数是2.
　　请读者想想看，小明的做法有道理吗？在你认真思考后，如果认为他的做法还具有代表性，那么，你能概括出什么规律来吗？
　　【规律】
　　两个自然数的乘积被某数除所得的余数，等于两个数分别被某数除所得余数的乘积，再除以某数所得的余数.
　　【练习】
　　1.71427和71427的积被7除，余数是几？
　　2.求下面各式的余数.
　　（1）9804×73864÷3；
　　（2）9804×73864÷5；
　　（3）9804×73864÷7；
　　（4）9804×73864÷11；
　　（5）9804×73864÷13；
　　（6）123456789×987654321÷3；
　　（7）123456789×987654321÷5；
　　（8）123456789×987654321÷7.
　　3.思考下面的两道题.
　　（1）123、456、789这三个数连乘的积被3除，余数是几？
　　（2）1234、567、78、9四个数连乘的积被3除，余数是几？
　　4.再思考下面的两个问题.
　　（1）1991、1993、1994、1996、1997、1999、2000这七个数连乘的积被3除，余数是几？
　　（2）1至2000中所有不能被3整除的自然数连乘的积除以3，余数是几？
　　提示：21、22、23……分别被3除的余数有如下规律：

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