小学奥数知识系列之――和与差的整除性

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我们知道，2、4、6、8、10、……都是能被2整除的整数.如果在这些数之间作和运算或差运算：
　　2+4=6，4+6=10，6+8=14，
　　2+6=8，4+8=12，6+10=16，
　　2+8=10，4+10=14，…………
　　2+10=12，…………
　　…………
　　2+4+6=12，
　　2+4+6+8=20，
　　2+4+6+8+10=30，
　　…………
　　4-2=2，6-4=2，8-6=2，
　　6-2=4，8-4=4，10-6=4，
　　8-2=6，10-4=6，…………
　　10-2=8，
　　…………
　　我们发现，它们之间的和或差也都能被2整除.因此，我们有理由猜想：能被2整除的数之间的和或差也能被2整除.
　　我们还知道，3、6、9、12、15、……都是能被3整除的数.如果在这些数之间作和运算或者差运算：
　　3+6=9，6+9=15，9+12=21，
　　3+9=12，6+12=18，9+15=24，
　　3+12=15，6+15=21，………
　　3+15=18，…………
　　………
　　3+6+9=18，
　　3+6+9+12=30，
　　3+6+9+12+18=48，
　　………
　　6-3=3，9-6=3，12-9=3，
　　9-3=6，12-6=6，15-9=6，
　　12-3=9，15-6=9，………
　　15-3=12，………
　　………
　　这些运算的结果也都能被3整除.因此，我们又有理由猜想：能被3整除的数之间的和或差也能被3整除.
　　有了前面的两点猜想，我们似乎可以作更大胆的猜想：如果有一些数能被某个数整除，那么，这些数之间的和或差也一定能被某个数整除.
　　令人不放心的是，关于这个猜想，我们还仅只是考察了“某数”是2和3的部分情形.是不是对所有的情形都正确呢？解决这个问题的办法有两个：一是再接着逐个去验证考察。但这是一件永远也办不完的麻烦事情！另一个办法是用符号（这个发明用符号来表达数学关系的前辈确实是一个伟大的天才！）表示出“猜想”中的数学关系，然后，去想方设法说清它正确的道理.亲爱的读者，你能完成这项工作吗？
    【规律】
　　如果有整数A、B、C、……都能被整数m整除，那么，就有A±B±C±……
　　的结果也能被m整除.
　　事实上，整数A、B、C、……都能被整数m整除，那么，这些整数就可以分别写成m的倍数形式：
　　A=a?m，B=b?m，C=c?m，……
　　（其中a、b、c仍为整数）.这样
　　A±B±C±……
　　=a?m±b?m±c?m±……
　　=（a±b±c±……）?m.
　　显然，后面的结果是m的倍数，能被m整除.这就说明了原式
　　A±B±C±……
　　也能被m整除.猜想是正确的.
    【练习】
　　运用上面的规律你能判断出下面哪些算式的得数能被2、3或5整除.
　　（1）123456789×1991+987654321；
　　（2）987654321×1992-123456789；
　　（3）2+4+6+……+1998+2000；
　　（4）5000-4998+4996-4994+……+4-2；
　　（5）1×2+3×4+5×6+……+99×100；
　　（6）1×2×3+4×5×6+7×8×9+……+97×98×99；
　　（7）1×2×3×4×5+6×7×8×9×10+11×12×13×14×15+……+96×97×98×99×100；
　　（8）19921+19922+19923+……+19922000.