[奥数课堂]用“先抓嫌疑犯”的办法解题

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于1998年8月11日～14日在天津南开大学举办的“1998我爱数学少年夏令营”的数学试卷中有这样一道题：
　　三件运动衣上的号码分别是1，2，3，甲、乙、丙三人各穿一件。现有25个小球。首先发给甲一个球，乙2个球，丙3个球。规定三人从余下的球中各取球一次，其中穿1号球衣的人取他手中球数的1倍，穿2号球衣的人取他手中球数的3倍，穿3号球衣的人取他手中球数的4倍。取走之后，还剩下两个球。那么甲穿的运动衣号码是多少？
　　解这道题的关键是确定穿几号球衣的人开始时各发了几个球。如果我们分别用三个□表示三个人开始时发的球数，就应该有如下等式：
　　2□+4□+5□=23
　　其中第一个方格表示穿1号球衣的人开始时发给的球数，第二个方格表示穿2号球衣的人开始时发给的球数，第三个方格表示穿3号球衣的人开始时发给的球数。这三个方格中分别应该填入1、2、3三个数字。
　　由于算式的结果23是个奇数，而无论第一个和第二个方格中填入什么整数，2□和4□都是偶数，所以5□必须是奇数，所以第三个方格中应填入奇数1或3。
　　如果第三个方格中填入1，则等式变为：
　　2□+4□=18，即：□＋2□=9
　　这时，在两个方格中只能填2和3的情况下，无论怎样都不能使等式成立，说明第三个方格中不能填1，只能填3，也就是
　　2□+4□+5×3＝23
　　即：2□+4□＝8，化简得到：□+2□=4
　　这时就很容易地得到：2＋2×1＝4
　　所以就得到结论：穿1号球衣的人开始时发了2个球，穿2号球衣的人开始时发了1个球，穿3号球衣的人开始时发了3个球，而题目已知开始时发给甲1个球，所以甲穿2号球衣。同时也就知道了乙穿1号球衣，丙穿3号球衣。
　　本题中在确定第三个方格中填几时所用的思考方法，不是急于确定“是什么”，而是先根据条件确定“可能是什么”，这有点儿类似于警察办案时“先抓嫌疑犯，再确定罪犯”的办法。
　　

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忆起来，其中主要应用的就是本题中的方法，现搞录如下：
　　

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象，就是把分子的个位数字6与分母的十位数字6同时划掉，得到的结果也

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　　这引起了我们进一步探索的兴趣，我们要问：还有哪些分数具有类似的性质？这就是问：哪些a、b、c的值可以使等式
　　

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　　成立？其中a、b、c均表示1至9的数字。
　　首先不难看出，a＝b＝c时，等式成立，然而我们特别感兴趣的是：a、b、c取不相同数字时的情况。
　　将等式改写为：9ac＝b（10a－c）
　　因为9ac是9的倍数，所以b（10a－c）也一定是9的倍数。
　　如果b不是3的倍数，那么10a－c就是9的倍数，由于
　　10a－c＝9a＋（a-c）
　　所以a－c就是9的倍数，从而就有a＝c，由此可以推出a＝b＝c，这又成为我们不感兴趣的情况了。
　　现在我们只要讨论b是3的倍数的情况，也就是b分别取3、6、9的情况。这就是确定了“嫌疑犯”，下面只要逐个去检验，就可以确定本题的答案了，具体的检验过程留给同学们自己完成。最后结果有四个分数具有这种性质，分别为：
　　

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