三年级数学思维训练引导例题详解（一）

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　　【内容概述】
        　　各种加法和减法的速算与巧算方法，如凑整，运算顺序的改变，数的组合与分解，利用基准数等。
        　　【例题分析】
        　　1．计算：1966＋1976＋1986＋1996＋2006
        　　分析1：通过仔细观察发现前面一个数都比后面一个数大10，因此可以设一个基准数。
        　　详解：我们不妨设1986为基准数。
        　　1966＋1976＋1986＋1996＋2006
        　　=（1986-20）+（1986-10）+1986+（1986+10）+（1986+20）
        　　=1986*5
        　　=9930
        　　评注：通过仔细观察题目后，通常会发现一些规律。找到规律，就能轻而一举的解决问题。
        　　分析2：等差数列的个数是奇数个时，中间数是它们的平均数
        　　详解：1966＋1976＋1986＋1996＋2006
        　　＝1986×5
        　　＝9930
        　　2．计算：123＋234＋345－456＋567－678＋789－890
        　　答案：34
        　　分析：这些数粗略一看好象是杂乱无章，其实不然。通过对各位数的观察，
        　　详解：
        　　先看个位：3+4+5-6+7-8+9-0=14
        　　再看十位：2+3+4-5+6-7+8-9=2 但是注意个位的进位：2+1=3（1是个位进位来的）
        　　最后看百位：1+2+3-4+5-6+7-8=0
        　　这样：我们就得到了34这个数
        　　评注：做这种有技巧的计算时，要先通过观察，找到规律后再逐一化简。把它变成一道很容易且学过的题。就像这道题一样，本来是3位数加减法，而我们把它变成了一位数加减法。但需要注意的是：千万不能忘了前一位的进位。
        　　3．计算：6472－（4476－2480）＋5319－（3323－1327）＋9354－（7358－5362）＋6839－（4843－2847）
        　　答案：20000
        　　分析：这个题目一眼看去没有办法简单运算，但如果把括号内得数算出，便发现了一些规律。
        　　详解：6472－（4476－2480）＋5319－（3323－1327）＋9354－（7358－5362）＋6839－（4843－2847）
        　　=6472-1996+5319-1996+9354-1996+6839-1996
        　　=6472+5319+9354+6839-1996*4
        　　=6472+5319+9354+6839-7984
        　　=（6472+5319+6839）+（9200+154）-（7900+84）
        　　=（6472+5319+6839）+（9200-7900）+（154-84）
        　　=（6472+5319+6839）+1300+70
        　　=18630+1370
        　　=20000
        　　评注：在一道简算的大题中，有可能有好几个地方可以简便运算，一些技巧性的题目，简算会在过程中体现出来，而不让你一眼看出，大家要在解题过程中找出简算步骤，这就需加强练习，方可得心应手。
        　　4．（1）在加法算式中，如果一个加数增加50，另一个加数减少20，计算和的增加或减少量？
        　　答案：增加30
        　　分析：此题并非很难，只是初学者会认为缺少条件。其实这与两个加数与和的本身值是无关的。因为计算的只是“和的增加或减少量”。
        　　详解：如果我们用“A”来代替一个加数，B代表另一个加数，（A+B）代表和
        　　（A+50）+（B-20）
        　　=（A+B）+30
        　　评注：某些题目的某些条件并不是我们所需知的，用字母或符号代表这些不需知的未知数是我们必须学会的技巧。
        　　（2）在加法算式中，如果被减数增加50，差减少20，那么减数如何变化？
        　　答案：增加70
        　　分析：与上题一样。其实减数变化与被减数、减数和差的本身值是无关的。
        　　详解：我们用“A”来代表被减数，B代表减数，（A-B）代表差
        　　减数=被减数-差
        　　=（A+50）-[（A-B）-20]
        　　=B+70
        　　评注：用字母表示数的方法用在这里很合适。一些无需知的未知数在运算过程中就会抵消，这样会给计算带来方便。
        　　5．计算：
        　　1＋2＋1
        　　1＋2＋3＋2＋1
        　　1＋2＋3＋4＋3＋2＋1
        　　1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1
        　　…………………
        　　根据上面四式计算结果的规律，求：1＋2＋3＋……＋192＋193＋192＋……＋3＋2＋1的值。
        　　分析：通过观察，我们发现：所有数的和＝中间数×中间数
        　　详解：1＋2＋3＋……＋192＋193＋192＋……＋3＋2＋1
        　　＝193×193
        　　＝37249
        　　评注：这个数列我们特别讲一个很复杂的方法，但很锻炼大家的思维的。
        　　设 1式.............1+2+1
        　　2式.............1+2+3+2+1
        　　3式.............1+2+3+4+3+2+1
        　　4式.............1+2+3+4+5+4+3+2+1
        　　5式.............1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1
        　　……
        　　观察发现1式与2式差5，2式与3式差7，3式与4式差9，4式与5式差11……
        　　又通过观察发现每两式相差的数都相差2(例如：1式与2式差5，2式与3式差7，7-5=2；再例如：2式与3式差7，3式与4式差9，9-7=2）
        　　再观察 1式与2式差5 5与2式中的3差2
        　　2式与3式差7 7与3式中的4差3
        　　3式与4式差9 9与4式中的5差4
        　　4式与5式差11 11与5式中的6差5
        　　观察上面这一步 最后相差的都是式子中间的数减1
        　　所以最后一个式子（1+2+3+......+191+192+193+192+191+.....+2+1）与它上面一个式子（1+2+3+......+190+191+192+191+190+.....+2+1）的差为：193+（193-1）=385
        　　所以（1+2+3+......+191+192+193+192+191+.....+2+1）
        　　=（1+2+1）+（5+7+9+11+13+15+17+...........+385）
        　　=4+390*[（385-5）/2+1]/2
        　　=4+390*191/2
        　　=4+37245
        　　=37249
        　　当然，这样的方法考试不可取，平常炼一下，多见识几种方法还是有好处的。
        　　6．请从3、7、9、11、21、33、63、77、99、231、693、985这12个数中选出5个数，使它们的和等于1995。
        　　答案：9、77、231、693、985。
        　　分析：首先，我们观察数的特征，要使得5个数的和恰好是1995，那么我们需要通过求出3到4个数的和，使它们接近1955，剩下的比较小的差异通过一两个数进行“微小调节”。
        　　详解：通过我们观察数的特征，我们将几个较大的数相加，得到：985+693+231=1909
        　　1995-1909=86
        　　这样比1995还相差86
        　　所以我们只要在剩下的数里面寻找两个数的和是86即可
        　　77+9=86
        　　所以这五个数是：
        　　9、77、231、693、985。
        　　评注：一些题目往往不一定要按顺序思考，利用从相反方向出发的原则也是可以解一些灵活性较强的题的。比如这个题目我们还可以用这12个数的和减去1995，用差来作为寻找的目标。
        　　7．题目：从1999这个数里减去253以后，再加上244，然后再减去253，再加上244......，这样一直减下去，减到第多少次，得数恰好等于0？
        　　答案：195次
        　　分析：这道题目看似简单，因为一个循环减少9，有的同学认为只要求1999能被9整除多少次即可。其实还隐藏着一个问题：如果1999这个数在某一点也就是在减253加244过程中有可能运算完只剩253，而减去253后就等于0。我们来实验一下所述情况有没有可能发生
        　　1999-253=1746
        　　1746/(253-244)=194
        　　194+1=195
        　　恰好如我们所猜测的。
        　　详解：1999-253=1746
        　　1746/(253-244)=194次
        　　但是最后一次减去也是一次运算：194+1=195次
        　　评注：结果正如分析所述，194+1的这个1就代表前面所减的253的那次。为了需要，我们先减去了253，这样算起来会比后减253更方便。