三年级奥数趣题——4×4幻方与高阶幻方

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欧洲人开始研究幻方的时间大约是在15世纪前期．当时阿格利帕(Agrippa)作出了3至9阶的所有幻方．从古到今，数字对许多人而言带有一丝神秘色彩(例如一般人常认为13不吉利)，而幻方也的确有其特殊之处．艺术家丢勒(Dürer)在其名为《忧郁》(Melancholy)的版画中，就将创作年份1514记在4×4的幻方中(图1)．

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　　在这个幻方中，行、列与主对角线的数字和皆为34．除此之外，在这个幻方中，还有许多位置对称的4个数字的和等于34，例如：16、13、4、1与3、8、14、9．你能找到其他的数字吗？

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　　用1、2、…16这些数字，可以作出880个不同的4×4幻方．弗兰尼柯(Frénicle)在1693年将这些幻方全部予以公布．但并不是每一个幻方都具有如丢勒幻方的对称性；有些只具有幻方的基本性质，称为简单幻方；还有一些称为纳西克(Nasik)的幻方，则被认为是最完美，而且是比丢勒幻方更富于对称性的幻方．下面各举一例(图2和图3)．
　　请试着在上面两个幻方中，找出4个具有对称性且总和为34的数字．试试你能用1到16的数字组合出多少不同的4×4幻方．
　　要作出偶数阶的幻方并没有特殊的好方法，但对于奇数阶的幻方，有一种由梅兹利亚克(Bachet de Méziriac)发明的方法却很值得介绍．图4所示为这种方法在5×5幻方中的应用，此方法对其他任何奇数阶的幻方也同样适用．

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　　首先如图4所示，将5×5方阵展开成菱形．现在由最左边的格子开始，沿对角线依序将数字填入，至最上方的格子为止．以此类推，如图4所示．然后想象一下，将方阵外的数字滑入方阵的另一边，但不改变其相对位置，结果就能形成幻方．
　　特别值得一提的幻方是欧拉(Euler)的8×8幻方，这也就是“马的路径”．显然维多利亚时代的谜题大师杜德尼(H.E.Dudeney)并不知道欧拉的发现，因为他在研究此类幻方时曾表示：“是否能找到完美的解答？我认为并不可能，不过这只是我个人诚实的意见而已．”