数学学习乐园讨论与解答（101—110）

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101．空间填充

　　无法用较小的四面体堆出大四面体．假设从大四面体的的每一个顶点移去一个四面体，则留在中心的是一个有正方形横切面的八面体，而这是无法由较小的四面体组成的．



102．长方形的对角线


　　设h为l与b的最大公因数，则关系式为：
　　d= l +b-h
　　例如，当l =15，b=10，h=5时，与对角线相交的方格数目为：
　　15+10-5=20



103．分割平面的直线




　　列表之后就能很明显地看出r的数目之间的差为1、2、3、4、5，以此类推．不难推导出当n=10时，r=56．n=100时，r的值也能用类似的方法导出，但如果用公式计算，得出5 051，自然是容易得多．
　　

　

　　S=1+2+3+4+…+(n-1)+n
　　即 S=n+(n-1)+(n-2)+…+1(将次序颠倒)
　　因此 2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)=n(n+1)
　　

　　下一题将探讨用差分推算数列的技巧，这种技巧在研究由P个平面分割空间，所分割成区域数目的极大值时也很有用．

　　分割平面在4个以上时，就很难用“看”的方法去了解实际状况，这时差分技巧就派上用场了：



104．数字序列——差分


　　第十项为120．
　　

　　原始数列的下两项为62与87．
　　(5)67 (6)96 (7)238 (8)275



105．从点阵模式到数字模式



　　(1)4 8 12 16 20 24 28 32 36 40
　　(2)1 5 13 25 41 61 85 113 145
　　第一个数列是第二个数列差分的集合．
　　数列(1)的第一百项为400．
　　数列(2)的第一百项等于
　　1+4+8+12+16+…+396
　　=1+4(1+2+3+4+…+99)
　　=1+2(1+2+3+…+97+98+99+99+98+97+…+3+2+1)
　　=1+2(100+100+100+…+100+100+100)
　　=1+(2×99×100)
　　=19801
　　第十个三角形内的点数很容易就可以由差分法找到．
　　

　　前10个奇数的和是102=100．
　　奇数1、3、5、…39的和为202=400，因为39是第二十个奇数．
　　在60与100之间的奇数和，就等于1至99的奇数和减去1至59的奇数和．99是第五十个奇数，59是第三十个奇数，故所求的和为502-302=1600．


106．钉板上的正方形



　　你可能认为在8×8钉板上，所能作出的不同形状正方形的数目为19，但其实你忽略了在作对角线正方形时，有一个是以3、4、5为3边的直角三角形为基础的正方形，而这个正方形的边长为5，所以与6×6钉板的边界正方形重叠．
　　正方形数目N与钉板一边的钉子数n的关系如下：
　　

　　在8×8钉板上所作成的正方形面积为：
　　

　　观察其间的差，似乎看不出任何可以使数列继续下去的明显模式．


107．多边形的三角分割


　　(1)有17条对角线．
　　(2)四边形、五边形分别有2条、5条对角线．
　　

(n-3)条对角线，共有n个顶点，故得n(n-3)，但因为每一条对角线都重复计算了两次，故此数目应减半．

　　(3)2条，3条，4条．
　　一般而言，在n边形中，可以画出n-3条互不交的对角线．
　　图1与图2是两种分割六边形的不同方法．
　　图3～图5是分割七边形的其他3种方法．

　　1+5+1+2+2+2+2=15
　　1+2+3+2+1+3+3=15
　　1+2+4+1+2+2+3=15
　　在各种情况中，七边形被分割后都形成5个三角形，每一个三角形都包含3个顶点，所以在使用的数字记录系统中，每一个三角形都被计算了3次．因此各种情况的数字和都为5×3=15．
　　显然多边形的边愈多，也就有愈多种不同的分割方法．但作者至今尚未找到一种公式，可以预测对已知边数的多边形进行分割时，不同分割方法的数目．
　　姑且不论有多少分割方法的问题，这个活动的目的之一是要介绍可以形成带状模式的数列．对带状模式的研究最近才刚起步，而且人们对它所知不多．只要你熟悉生成新数列的方法，其算术是相当简单的，但形成的模式却非常奇妙．


108．一个人玩的跳棋游戏


　　跳棋游戏虽然历史悠久，但一直未受重视，可能是因为看起来似乎过于简单．
　　“跳蛙”最少需移动15次．
　　将7个洞由左至右编号，则15次移动的方法如下所示，其中的数字代表空的洞：
　　3 5 6 4 2 1 3 5 7 6 4 2 3 5 4
　　策略为尽量用跳的方式，在此解中共跳了9次．
　　将x个黑色棋子与y个红色棋子互换位置，最少要移动xy+x+y次，其中xy为“蛙跳”的次数．


109．一分为二




110．将立方体着色


　　最少需要3种颜色，因为有3个面交于立方体的顶点，这3个面必须为不同颜色，所以即使相对的面颜色相同，也没有相邻的面为相同颜色．
　　如果有A、B、C、D4种颜色可用，每一次取3种颜色的组合有4种，即ABC、ABD、ACD与BCD，而且每一种组合中只有一种将立方体着色的方法．所有其他的方法都会用到所有的4种颜色．如果没有立方体模型，要整理出这些着色方法并不容易．要注意的是，除了两个相邻面必须不同色之外，相同颜色的面也不能超过两个．
　　因此要用4种颜色涂6个面，就必须有两种颜色用两次，另外两种颜色各使用一次．如此就有6组解答，如图所示．

　　在每一种情况中，只出现一次的两种颜色，必定是在相对的面．这6组解答，加上前面只用3种颜色的4组解答，所以将立方体着色共有10种不同的方法．