数学学习乐园讨论与解答（121—130）

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121．采矿之道

　　这个题目如果是由一群人一起做，看看谁能找到获利最大的路径，会更有趣．设计这个问题的灵感，来自于第418期《数学公报》(Mathematical Gazette)上的一篇文章，以及一家澳大利亚清洁剂制造商的促销活动．在互相竞争的情形下，大多数的人都会很积极地寻找答案，但到目前为止，还没有人能不使用电脑就找到最佳解．可能是因为这条获利高达七亿七千六百万英磅的最佳路径：
　　28 74 45 83 57 72 52 73 41 70 44 81 56
　　并没有经过价值超过八千三百万英磅利润的那11块区域中的任何一块．使用这种数字阵列，很容易就可以设计出类似但不同的问题．例如，开采最少区域，同时获利至少为八千万英磅的最短路径是怎样的？


122．百位、十位与个位


　　最后的答案都会是1089，除非第一次选择的数字百位数与个位数相同，如525，则第一次相减就得到零．


123．魔术圆圈


　　由于1+6=2+5=3+4=7，同时每一个圆与另一个圆都有成对的交点，因此只要把和为7的数字填入成对的交点中，就可以形成魔术数字为14的魔术圆圈(图1)．

　　只要先定出数字N，然后找出和等于N的3组数字(a，b)、(c，d)、(e，f)，就可以用这3组6个数字形成魔术圆圈．例如，N=15，则3组数字可以是
　　(5，10)(7，8)(2，13)如此就可以形成如图2的魔术圆圈，其中2N=30为魔术数字．

　　任两圆只交于两点，所以只要将和为13的一组数字放在这两个交点即可．用这种方法很容易就可以找到解答，其中一组解如图3．

　　1+2+5+12+11+8=39
　　2+3+9+11+10+4=39
　　1+3+6+12+10+7=39
　　7+4+5+6+9+8=39



124．数字轮



　　从轮子最下方的那条线可知数字和为23．因此中心的数字是23-15-2=6，以此类推．



125．等于100


　　以下为4种解：
　　123-4-5-6-7+8-9=100
　　123-45-67+89=100
　　[1×(2+3)×4×5]+6-7-8+9=100
　　(1×2×3)-(4×5)+(6×7)+(8×9)=100



126．除法的形式



　　在过去没有计算器的时代，做除法通常只会取4位有效数字，只有在除以3或11时，我们能从其较短的数字重复出现形式中体会到循环小数的概念．所以，很多人在发现事实上所有的除法只要能一直持续下去，都可能出现循环形式时，常感到难以置信．
　　(1)以7为除数时，最后会形成6个数字的循环序列．
　　

　

　
　　要了解为何以64或320为除数时会形成有限位的小数，请参见下例：
　　

　　如果分母中的数字不是由2的乘方与5的乘方所组成，就无法转化成10的次方．
　　当以某数，如31为除数时，就有30种可能的余数，即1、2、…30，而且会重复出现，所以要研究商的循环数列，其实就是研究除数的序列．这个问题与“同余理论”有关．
　　(2)以17为除数的数字序列为：

　
　　

　
　　(3)以19为除数的数字序列为：

　　(4)以11为除数时，会出现下列的两位数字的序列：
09 18 27 36 45
90 81 72 63 54
　　(5)以13为除数时，会出现下列2种6位数字的序列：



127．质 数


　　29和31是23与37之间仅有的质数．
　　127是113之后的下一个质数．
　　在190与200之间共有4个质数，即191、193、197与199．
　　(1)28=5+23=11+17
　　50=13+37=3+47
　　100=3+97=29+71
　　246=7+239=23+22 3
　　显然，表示法不只一种．
　　(2)5-3=2
　　11-7=4
　　29-23=6
　　97-89=8
　　149-139=10
　　211-199=12
　　127-112=14
　　(3)下列为前10个奇数：
　　3=2+20
　　5=3+21
　　7=3+22=5+21
　　9=5+22=7+21
　　11=3+23=7+22
　　13=5+23=11+21
　　15=7+23=11+22=13+21
　　17=13+22
　　19=3+24=11+23=17+21
　　21=5+24=13+23=17+22=19+21
　　再试试1271．
　　(4)179，181；191，193；197，199．
　　(5)②将数字排成如下6行：

　　第二、第四与第六行都是偶数，所以除了2之外都不是质数．第三行是3的倍数，所以除了3以外，也都不是质数．余下第一行与第五行，其中的数字都具有6n+1或6n-1形式．
　　③即5=22+12
　　13=32+22
　　17=42+12
　　在做这一个与下一个题目时，最好能将质数列表．下面就介绍由希腊数学家伊拉托塞尼斯(Erotosthenes)所提出的方法．把所有你想考虑进去的数，例如1至50，写成阵列．

　
　　现在从2开始，两个两个一数，消去第二个数，这样就只剩下奇数与2．再取2之后第一个未被消去的数，即3．
　　再三个三个一数，消去第三个数，如6、9、12等．然后由3移到下一个未被消去的数，即5，同样五个五个一数，消去第五个数，以此类推．最后剩下的就是质数．


128．质数的生成


　　(1)121=112是其反例．
　　(2)当n=40，41，44，49，56，65，76时，原式就无法产生质数．
　　当n=40，n2+n+41=402+40+41
　　　　　　　　　　=40(40+1)+41
　　　　　　　　　　=40(41)+41
　　　　　　　　　　=412
　　(3)当n=80，n2-79n+1601=802-(79×80)+1601
　　　　　　　　　　　　　=80(80-79)+1601
　　　　　　　　　　　　　=1681
　　　　　　　　　　　　　=412
　　这两个二次式非常相似．用n-40代替n，代入n2+n+41，即得n2-79n+1601．
　　(4)n=29，2×292+29=29(58+1)=29×59．
　　(5)前5个费玛数为3、5、17、257与65537．


129．有名字的数

　　回文数

　　最小的回文质数是11，最小的回文平方数是121．其他只有两个回文平方数小于1000：
　　484=222与676=262
　　在100与200之间的回文质数有
　　101 131 151 181
　　对于任何回文数，在400与500之间的最后一位数都是4，所以一定是偶数；在500与600之间的最后一位数都是5，所以都含有5的因数；在600与700之间的最后一位数都是6，所以都是偶数．其实在383与727之间并没有回文质数．在1000与2000之间所有回文数的公因数为11．

　　过剩数、完全数与亏损数

　　(1)过剩数：1 2 3 4 5 7 8 9 10 1113
　　14 15 16 17 19 21 22 23 25
　　26 27 29
　　亏损数：12 18 20 24
　　完全数：6 28
　　(2)当n=5，得25-1=31，故16×31=496为完全数．
　　496=1+2+4+8+16+31+62+124+248
　　当n=7，得27-1=127，其为质数，故64×127=8128为完全数．


130．再论数字模式


　　(1)x2-y2=(x+y)(x-y)
　　在此例中，x-y=1，故x2-y2=x+y．
　　(2)如果被平方的数字为n，则其他两个相乘的数就是n-1与n+1．
　　由于(n-1)(n+1)=n2-1，故乘积恒比n2少1．
　　(3)3的乘方，最后一位数重复出现的顺序为3，9，7，1．
　　2的乘方得出序列2，4，8，6．
　　4的乘方得出序列4与6．
　　5与6的乘方分别得出序列5与6．
　　7的乘方得出序列7，9，3，1．
　　8的乘方得出序列8，4，2，6．
　　9的乘方得出序列9与1．
　　请注意，由3与7以及2与8得出的序列之间关系密切．
　　

数，且其和等于n3．
　　(5)前n个数的立方和，等于前n个数和的平方，例如：
　　13+23+33+43=(1+2+3+4)2