数学学习乐园之一百二十七（质数）

小学教育网

　　质数就是只能被1或其本身整除的整数，例如：
　　5 29 41 83
　　唯一的偶数质数是2，因为按照定义，所有其他的偶数，如6、10、28的因数，除了1与其本身之外，都包括2．故除了2以外，所有质数都是奇数．
　　长久以来，许多数学家对于哪些数为质数，以及质数的分布情形都很感兴趣．与质数有关的定理，最早可追溯至公元前3世纪的欧几里德，他以很简洁的方法证明有无穷多个质数．
　　有时质数之间非常接近，例如：
　　2 3 5 7 11 13
　　但有时也非常稀疏，像是23与37之间，就只有两个质数．请问这两个质数是多少？
　　在小于100的数中，找质数比较容易，但在100之后，质数之间的距离就大得多了．
　　试找出113之后的下一个质数．
　　不过即使如此，在小于100的数中，通常10个连续的数中就会包含一个质数．
　　那么在190与200之间有多少质数？
　　数学家已证明，只要数字够多(如5000以内)，就一定可以找到不包含一个质数的连续整数序列．
　　与质数有关的理论相当多，但其中也有不少猜想尚待证明．
　　(1)其中最著名的猜想就是“哥德巴赫猜想”(Goldbach Conjecture)．这是哥德巴赫在1742年写给欧拉的信中提到的猜想，其内容为：
　　除了2以外的任何偶数，都可以用两个质数的和表示．
　　欧拉无法证明这个猜想．时至今日，虽然没有发现任何反例，但还是无人能予以证明．
　　将28、50、100、246以两个质数之和表示．是否只有一种表示方式？
　　(2)除了2以外，所有的质数都是奇数，因此任何两个质数(除了2)的差是偶数．这或许很明显，但有趣的是：
　　所有的偶数都是两连续质数的差．
　　请说明对下列偶数这种说法可以成立．
　　2 4 6 8 10 12 14
　　要得到上面的结果，你所找的质数不会大于250．
　　(3)在1848年，波里奈克(de Polignac)指出：
　　每一个奇数都可以用一个质数与一个2的乘方之和表示．
　　例如：25=17+23．
　　随机选择一些奇数，测试波里奈克的猜测，是否只有一种表示方法？
　　(4)质数通常以连续奇数成对出现，如5与7、17与19、29与31．一般相信这种成对的质数有无限多个，但尚无人能加以证明．
　　在150与200之间只有3对这样的质数，请把它们找出来！
　　(5)研究下列的猜测：
　　①在连续的平方数之间，至少有一个质数．
　　②除了2与3之外的每一个质数，都可以写成6n±1的形式，其中n为自然数．
　　③任何具有4n+1形式的奇质数，等于两个完全平方数之和．