数学学习乐园之九十二（欧拉关系）

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　　欧拉发现在多面体的顶点、边与面的数目间存在着一种简单的关系，这种关系被视为图论(graph theory)中相当重要的定理．
       
        　　你现在应该可以自己叙述欧拉关系了．看看此关系是否也能适用于其他的多面体，检验一下你的推论．
       
        　　当时欧拉认为这只是多面体的性质，但后来数学家发现这种关系也能适用于球面或平面上的网络．
       

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        　　考虑如图1的网络．其中有3个结点A、B、C，4条弧p、q、r、s；这个网络把平面分成3个区域1、2、3．这些数目满足下列关系：
       
        　　N-A+R=2
       
        　　N为结点的数目，A为弧的数目，R为区域的数目．你觉得这与多面体的关系是否有什么类似之处？
       
        　　现在把上述的关系式用在其他的网络上，试试结果如何．
       
        　　你是否试过图2中不相连的网络？
       

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        　　你应该会发现，上述的关系式需要视网络中分离部分的数目作修正．看看你是否能找到一个公式，不管网络中到底有多少部分，都能成立．
       
        　　“欧拉关系”与“网络关系”之间的联系可以用图3说明．
       
        　　想象一下，用具有弹性的材料做一个立方体，可以如图3的方式伸展，然后压平，成为平面上的网络．原来立方体的每一个顶点现在都成为网络中的结点，原来立方体的每一条边现在则成为网络中的一条弧．
       

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        　　立方体的每一面现在都成为平面中的一个区域，只除了ABCD之外，不过也可以把ABCD看成是代表网络外部的区域．所有多面体以这种方式变换都可得到类似的结果，但要注意的是，对有洞的多面体需要做进一步的考察．
       
        　　如果将多面体看作是三维空间分隔成不同区域，则对欧拉的关系式还可以作进一步推广．
       
        　　考虑一下最简单的多面体——四面体(图4)．
       

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        　　四面体将空间分成两个区域，且
       
        　　V-E+F-R=4-6+4-2=0
       
        　　其中V、E、F各代表多面体的顶点、边与面的数目，R为区域的数目．现在在立方体上加一个金字塔形的角锥体．这种组合将空间分成3个区域，包括9个顶点、16条边与10个面(图5)．
       

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        　　我们再度得出
       
        　　V-E+F-R=0
       
        　　这是由欧拉原始的关系式推广得出的另一个关系式．用其他的方法分割空间，检验一下这个关系式．