动手学数学讨论与解答（51—55）

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　　51．造出6个质数
　　此题的解虽然并不具重要性，但此题却引导我们进行一些有益的思考．以下4组解是不包含运算的情形：
　　2 3 5 47 61 89
　　2 3 5 41 67 89
　　2 3 5 7 89 461
　　2 3 5 7 89 641
　　若运用下列的计算去组合，则可找到更多的解：
　　3＋4＝7，1＋6＝7，1＋4＝5，4＋7＝11，6＋7＝13，
　　


　　52．交通工程

　　最大的车流量为每小时2000辆．
　　可以沿着网络“追踪”汽车，直到超过了路段的容量为止．如果运用切割的观念，可轻易地完成各步骤．
　　先看一下城镇道路地图上所画的虚线，任一条虚线都把城镇切割成两个部分．考虑截线q，它通过4条道路，而其总交通容量为每小时2100辆(21＝4＋3＋8＋6)．这意味着在q的两侧可容纳的最大交通流量．同理，s将城镇切割成两部分，而其所经过的道路的最大容量为每小时2700辆．我们检视一下网络，并且将切割后的车容量标示出来，如图1所示的p、q、r、s与t，如此可以迅速地看出道路的瓶颈所在以及多余的容量．此道路网络的最小切割为r，其容量为每小时2000辆，这也同时指出了由A至B最大车流量为每小时2000辆．
　　至此只回答了最大流量的问题，还未解决交通路线分配的问题．图2所示的并非唯一解，你可以把一些箭头和数字标在网络上代表车流方向和车流量来构造出一个解．要注意，通过最小切割的道路必须为全满的容量．

　
　　在此所示的解是经过谨慎选择后得到的，使得没有车辆通过的道路数目为最多，即图中4条标为0的虚线．
　　在理论上4条道路可以徒步经过，或至少可避免交通问题．
　　要增加通过城镇的交通流量，就必须增加最短切割所通过的道路中某一段的容量．其最佳解可能为增加XY(如上图所示)的容量，由每小时400辆增加至600辆，这会使q与r切割分别改变为23与22，且正好等于p、t切割之值．这时的最大流量将增为每小时2200辆，但代价是ZT与TB将会有车辆通行，这就会限制徒步路段的数目．

　　53．船桅的距离

　　要找到两船桅的距离是不可能的，不论船桅之间的距离是多少，两船桅的交点到船体的高度恒为2.4m．

　
　　由图所示，可利用相似三角形得出：
　　

　　将(1)式除以(2)式得出：
　　

　　现在由(1)式得：
　　

　　另一种可显示船桅间的距离与h高度无关的方法是移动图中6m高的船桅，观察一下是否会影响h的值．

　　54．9个棋子的舞蹈

　　这个游戏有时就直接称为“The Mill”．
　　现在有一个类似的游戏名为肯辛顿(Kensington)，它是由泰勒(Brian Taylor)与福布斯(Peter Forbes)在1979年所发明的．这个游戏的棋盘由一些相连的六边形、正方形与三角形所构成．在此游戏中，当3个棋子形成一个三角形时就形成一个mill，这时便可将对手的棋子移至棋盘中任意的空位上．此游戏非常吸引人，值得一玩．

　　55．矩阵演习

　　此题融合了矩阵代数、几何变换与群论的概念．在某种程度上，它是相当复杂的，但将之视为24阶，取算术模5的矩阵来研究，则非常有趣且富于启发性．