动手学数学讨论与解答（36—40）

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　　36．自行车的齿轮
　　研究显示，齿轮比与比例因子对儿童而言算是相当难理解的概念，可以从实用的角度来着手，尽量激发儿童应用数学的兴趣．
　　巴特勒自行车的齿轮比如下表所示：

　
　　女式自行车的齿轮比依序为：

　　链条在大齿盘间做过5次转换(如箭头处所示)．男式自行车则需要做7次转换：

　　加装了后轴变速系统的自行车，其齿轮比如下表所示：

　　拥有4个链轮的飞轮之轴齿轮比逼近于有27、23、18与14齿的FW轮轴的后轴变速系统．

　
　　同时具有两种变速系统的自行车，理论上会有50种可能的齿轮比，调速范围更大．
　　你可以自己走一趟自行车商店，试着去收集各种不同自行车的资料．

　　37．透视立体图形

　　作者于多年前在一堂艺术课中发掘出此类问题，并认为其结构、概念也适用于数学课程，它可以刺激对三维空间(立体)的想象力，且协助孩子将三维空间的物体以二维空间(平面)的图形呈现出来．
　　最初可从铁丝衣架等具体的实物着手，而聪明一点的孩子则可运用想象力构筑出不同的结构．

　　38．回文数的终点

　　有许多二位数具有此性质．设十位数字为a，个位数字为b，将二位数记为ab．只要a＋b≤9，就可得到回文数．例如：
　　25+52＝77，32+23＝55，18+81＝99
　　任何二位数cd，只要c＋d＝11，均可推得121．例如：
　　29+92＝121，47+74＝121，56+65＝121

　　39．反转

　　利用试误法可找到许多解答，但要彻底了解此问题，则需要分析一下．
　　我们先考虑下列的乘法：

　　因为乘积是五位数，g≤9、k≤9，而且在每一位数并不牵涉到进位的问题，所以对每一位数字(g、h、i、j、k)而言，下列式子为必要条件：
　　ad≤9
　　ae+bd≤9
　　af＋be＋cd≤9
　　bf＋ce≤9
　　cf≤9
　　这意味着如果a＝2，则d、e、f≤4，所以满足条件的大部分解，其每一位数的数字将很小．但是大数字的解也可能存在，例如：
891×101＝89991
198×101＝19998
　　另外还有一些解答为：
　　123×101＝12423 123×102＝12546 100×900＝90000
　　321×101＝32421 321×201＝64521 001×009＝00009

　　40．循环

　　这是一个相当有趣的题目，而且对各种程度的人都适用．对基础程度者而言，只要会做除法的计算即可．但要找出本题要求的形式，却需要做许多的假设和试验．

　　当除以2时，不论起始数字是多少，都会出现相同顺序(从环状来看)的18个数字．

　　当除以3时，要得出类似的形式，则必须是一个28位数字的循环序列，如下所示：

　　上述这些环状的长度与数字序列使人联想到循环小数(参见《数学乐园·茅塞顿开》第126题)．用计算器做一连串的试验之后，你将发现，除以2、3和4得到的循环序列，会分别与除以19、29与39所得到的循环序列相同．但我们如何找出其间的关系呢？
　　可考虑

　　如果在一个循环之后接着重复写上几个循环，并在1的后面加上一个小数点，则除式变成：

　　设
　　x＝0.025641025641…
　　则除式可写为下列形式：

　　故
　　40x＝1+x
　　

　　显然地，类似的论证可应用至所有的除法中，并可表示出其与循环小数的关系．